pi et les autres

Es sin duda la constante más famosa de todas las matemáticas después del 0 o del 1. El número π, cuya historia tiene varios milenios y continúa escribiéndose en nuestros días, ejerce una fascinación evidente. ¿Es debido a su omnipresencia en geometría y a su vínculo con esta forma perfecta que es el círculo? ¿O porque la secuencia infinita de sus decimales parece totalmente aleatoria? ¿O todavía debido al abismo que separa la simplicidad de su definición de la dificultad que se tiene para establecer sus propiedades? Lo que es cierto es que π continúa dando trabajo a los científicos y intrigándonos.

La irrupción, en la época de los griegos, de la noción de irracionalidad, con la imposibilidad, para ciertos números de escribirse como un cociente de enteros, ha sido un momento importante de las matemáticas. Cada nuevo número fue entonces sometido a la pregunta: ¿fracción o irracional? La demostración, en el siglo XIX, de la irracionalidad de números como π o e, agregó un grado a la categorización: a diferencia de otros, como √2, no eran solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Fueron llamados trascendentes, como para recordar que provenían de un mundo superior. En realidad, casi todos los números reales son trascendentes pero para algunos irracionales, la cuestión permanece abierta.

En el universo de los números reales, cuando uno no es trascendente, es algebraico. Es decir, para estos últimos, soluciones de una ecuación algebraica con coeficientes enteros. Este es el caso, por ejemplo, de todos los números constructibles con regla y compás. Pero aunque algunos pueden escribirse mediante radicales, este no es el caso de todos, y su estudio nos devuelve frecuentemente a la teoría de ecuaciones iniciada por Galois en el siglo XIX. Otra especificidad del conjunto de los números algebraicos es poseer una estructura: la suma, el producto y el cociente de dos de ellos es también algebraico. Estamos, por lo tanto, ante la presencia de un cuerpo, noción muy importante en el álgebra moderna.