Al principio, los pitagóricos, escuela de matemáticas de los siglos 6.º y 5.º antes de nuestra era fundada por Pitágoras, pensaban que todos los números eran racionales. Pronto advirtieron que el número áureo, que aparecía en su símbolo, el pentáculo, no lo era. Después descubrieron que 2\sqrt{2} tampoco lo era. Estos dos descubrimientos provocaron un enorme escándalo: el «todo es número» —es decir, número entero o fracción—, base de la filosofía pitagórica, ¡se derrumbaba! Pero la caja de Pandora se había abierto: en realidad, hay una infinidad de irracionales. Quizá los griegos se preguntaron si π lo era. A priori, no supieron responder a esta pregunta, pues no quedó resuelta hasta mucho más tarde.
Que en la Antigüedad ya se supiera que algunos números eran irracionales no significa que sea fácil demostrar la irracionalidad de un número dado. Prueba de ello es que hubo que esperar hasta 1978 para que Roger Apéry demostrara la irracionalidad del número ζ(3)=∑n≥11n3\zeta (3) = \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^3} (véase el artículo « Camino hacia la trascendencia »).
Una herramienta eficaz -----------------
Las fracciones continuas se utilizan mucho para estudiar los números irracionales. Para ello, los números irracionales se expresan como una sucesión de cocientes
a0+1a1+1a2+1a3+…a_0 + \dfrac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{a_3 + \ldots}}}