Au départ, les pythagoriciens, école de mathématiques du VIe et Ve siècle avant notre ère fondée par Pythagore, pensaient que tous les nombres étaient rationnels. Ils s’aperçurent bien vite que le nombre d’or, qui apparaissait dans leur symbole, le pentacle, ne l’était pas. Puis ils découvrirent que 2\sqrt{2} ne l’était pas non plus. Ces deux découvertes provoquèrent un énorme scandale : le « tout est nombre » (c’est-à-dire nombre entier ou fraction), base de la philosophie pythagoricienne, s’écroulait ! Mais la boîte de Pandore était ouverte : des irrationnels, il y en a, en fait, une infinité. Les Grecs se sont peut-être demandé si π l’était. A priori, ils n’ont pas su répondre à cette question car elle ne fut tranchée que bien plus tard.
Si, dans l’Antiquité, on savait déjà que certains nombres étaient irrationnels, cela ne prouve pas que cela soit facile de prouver l’irrationalité d’un nombre donné. La preuve en est qu’il faudra attendre 1978 pour que Roger Apéry démontre l’irrationalité du nombre ζ(3)=∑n≥11n3\zeta (3) = \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^3} (voir article « En route vers la transcendance »).
Un outil efficace -----------------
On utilise beaucoup les fractions continues pour étudier les nombres irrationnels. Cela consiste à les mettre sous la forme d’une suite de quotients
a0+1a1+1a2+1a3+…a_0 + \dfrac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{a_3 + \ldots}}}