pi et les autres

C’est sans doute la plus fameuse constante de toutes les mathématiques après le 0 ou le 1. Le nombre π, dont l’histoire est plusieurs fois millénaire et continue de s’écrire de nos jours, exerce une fascination manifeste. Est-ce à cause de son omniprésence en géométrie et de son lien avec cette forme parfaite qu’est le cercle ? Ou parce que la suite infinie de ses décimales semble totalement aléatoire ? Ou encore à cause de l’abîme qui sépare la simplicité de sa définition de la difficulté que l’on a à établir ses propriétés ? Ce qui est certain, c’est que π continue à donner du travail aux scientifiques et à nous intriguer.

L’irruption, au temps des Grecs, de la notion d’irrationalité, avec l’impossibilité, pour certains nombres de s’écrire comme un quotient d’entiers, a été un temps fort des mathématiques. Chaque nouveau nombre fut alors soumis à la question : fraction ou irrationnel ? La démonstration, au XIXe siècle, de l’irrationalité de nombres comme π ou e, a ajouté un degré à la catégorisation : contrairement à d’autres, comme √2, ils n’étaient pas solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Ils furent nommés transcendants, comme pour rappeler qu’ils venaient d’un monde supérieur. En fait, presque tous les nombres réels sont transcendants mais pour certains irrationnels, la question reste ouverte.

Dans l’univers des nombres réels, quand on n’est pas transcendant, on est algébrique. C’est-à-dire, pour les seconds, solutions d’une équation algébrique à coefficients entiers. C’est le cas, par exemple, de tous les nombres constructibles à la règle et au compas. Mais même si certains peuvent s’écrire à l’aide de radicaux, ce n’est pas le cas de tous et leur étude nous ramène souvent à la théorie des équations initiée par Galois au XIXe siècle. Une autre spécificité de l’ensemble des nombres algébriques est de posséder une structure : la somme, le produit et le quotient de deux d’entre eux est encore algébrique. On est donc en présence d’un corps, notion très importante dans l’algèbre moderne.