Quand on entreprend la construction des principaux ensembles de nombres, on part en général des entiers puis des rationnels, quotients d’entiers, pour ensuite remarquer qu’une expression comme ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Souvent, à peine cette observation faite, on s’empresse de remarquer que et leurs petits camarades tels que ou sont également irrationnels. Ils peuvent donc eux aussi prétendre à une place dans le monde des nombres, élargissant considérablement les frontières de ce dernier.
Or plutôt que de se lancer d’emblée dans une exploration aussi immense, on peut s’arrêter à ce qui se passe quand une seule racine carrée est introduite. De cette manière se révèlent les corps quadratiques. Ces régions particulières disposent de leurs structures propres, qui prolongent de façon étonnamment régulière celle de l’ensemble des nombres rationnels.
Les corps quadratiques prolongent la structure de l'ensemble des rationnels
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Voyons pour commencer le cas de . Nous partons de l’ensemble ℚ des nombres rationnels (ceux qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient a/b avec a et b entiers), et nous lui adjoignons ainsi que tous les nombres que et les rationnels permettent d’engendrer à partir des quatre opérations de l’arithmétique : addition, soustraction, multiplication et division. L’ensemble des nombres ainsi obtenu se note ℚ( ). Cette façon d’étendre l’ensemble des fractions à partir d’une racine carrée constitue une extension quadratique. Par construction, l’ensemble ainsi défini dispose d’une structure de corps (voir encadré).
