Quando si intraprende la costruzione dei principali insiemi di numeri, in genere si parte dagli interi, poi dai razionali, quozienti di interi, per osservare quindi che un’espressione come non può essere scritta sotto forma di frazione. Spesso, non appena fatta questa osservazione, ci si affretta a notare che e i loro piccoli compagni, come o , sono anch’essi irrazionali. Possono dunque aspirare a un posto nel mondo dei numeri, ampliandone notevolmente i confini.
Ora, invece di lanciarsi subito in un’esplorazione tanto vasta, possiamo soffermarci su ciò che accade introducendo una sola radice quadrata. È così che emergono i campi quadratici. Questi insiemi particolari hanno strutture proprie, che prolungano con sorprendente regolarità quella dell’insieme dei numeri razionali.
I campi quadratici prolungano la struttura dell’insieme dei razionali
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Esaminiamo anzitutto il caso di . Partiamo dall’insieme ℚ dei numeri razionali (quelli che si possono scrivere come quoziente a/b, con a e b interi), e vi aggiungiamo nonché tutti i numeri che e i razionali consentono di generare mediante le quattro operazioni aritmetiche: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. L’insieme di numeri così ottenuto si indica con ℚ(). Questo modo di estendere l’insieme delle frazioni a partire da una radice quadrata costituisce un’estensione quadratica. Per costruzione, l’insieme così definito possiede la struttura di campo (vedi riquadro).
