Non lasciatevi intimidire dal vocabolario: un campo non è altro che un insieme in cui è possibile eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni secondo le regole abituali.
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C\mathbb{C}, completo in senso analitico, incompleto in senso algebrico --------------------------------------------------------------------------
Soffermiamoci anzitutto sull’insieme Q\mathbb{Q}, quello dei numeri razionali (quozienti di due interi), poiché corrisponde a un certo completamento, che non possiedono né N\mathbb{N} né Z\mathbb{Z}, rispettivamente gli insiemi degli interi positivi e degli interi relativi. Le quattro operazioni vi hanno le consuete proprietà (associatività, commutatività, distributività), ma inoltre i loro risultati restano in Q\mathbb{Q}. In altre parole, sono «interne», salvo che non si può dividere per zero. In sintesi, Q\mathbb{Q} è un campo e, in questo senso, presenta un carattere di «completezza».
Il campo Q\mathbb{Q} è adatto a tutte le applicazioni pratiche in cui le approssimazioni sono sufficienti. Tuttavia non contiene alcun numero corrispondente a certe semplici grandezze geometriche, come la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario. Questa può essere soltanto approssimata. Si può ottenere una successione di approssimazioni che si avvicinano al valore quanto si vuole, come 1,5 - 1,4 - 1,414…, ma non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia esattamente uguale a 2. In altre parole, 2 non ha radice quadrata in Q\mathbb{Q}.