I numeri complessi

I numeri irrazionali, lo zero, i numeri negativi hanno impiegato secoli per essere accettati. Fu lo stesso caso dei « numeri immaginari », che hanno dato vita alla nozione di numeri complessi. All'origine della loro – tardiva – introduzione, c'era il desiderio di risolvere le equazioni di secondo grado che non avevano soluzione reale. Ciò ha portato alla concezione di un insieme potente, dotato della struttura di campo algebricamente chiuso, cioè nel quale ogni equazione algebrica ammette una soluzione. Meglio ancora, nella misura in cui i complessi possono essere identificati con un punto del piano, una potente corrispondenza tra algebra, analisi, geometria e trigonometria stava per nascere !

À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables. Grâce à l'outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur.

Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans ℂ, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore dont personne n'aurait pu imaginer la richesse. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! À telle enseigne que des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent plus s'en passer. La fonction zêta nous fait maintenant miroiter mille merveilles mathématiques, notamment au sujet des nombres premiers, briques élémentaires de l'arithmétique. Mais gare au téméraire qui abordera l'hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l'ampleur et de la difficulté de la tâche…