Un esempio classico di questo genere di avventura è la dimostrazione del seguente risultato: se due numeri interi sono somme di quattro quadrati, lo è anche il loro prodotto.
L’uso dei complessi nel corso di questa dimostrazione ci semplificherà notevolmente il compito! Supponiamo infatti che gli interi A e B siano esprimibili come A = a2 + b2 + c2 + d2 e B = p2 + q2 + r2 + s2. Basterà introdurre i numeri complessi z = a + ib, t = c + id, u = p + iq e v = r + is per poter scrivere
che non è altro che , che è proprio una somma di quattro quadrati, dato che ciascuno dei due termini è somma di due quadrati. Questo risultato assai utile interviene in particolare nella dimostrazione del teorema dei quattro quadrati di Lagrange: permette di dimostrare che ogni intero è somma di quattro quadrati usando soltanto i numeri primi.
Un altro esempio, meno classico, di utile ricorso ai numeri complessi è quello citato dai nostri colleghi del Québec Alain Desparois e Paul Guertin (Bulletin de l’Association mathématique du Québec, marzo 2017), quando si interessano alle funzioni n-simili, cioè alle funzioni uguali alla loro derivata nesima, senza coincidere con alcuna delle prime n – 1 derivate. La funzione esponenziale è evidentemente 1-simile, x exp (–x) è 2-simile, la funzione seno è 4-simile. Come trovare funzioni reali di variabile reale che siano 3-simili?
