Un ejemplo clásico de esta clase de aventura es la demostración del siguiente resultado: si dos números enteros son sumas de cuatro cuadrados, su producto también lo es.
¡El uso de los complejos en esta demostración nos facilitará considerablemente la tarea! Supongamos que los números enteros A y B admiten las descomposiciones A = a2 + b2 + c2 + d2 y B = p2 + q2 + r2 + s2. Bastará introducir los números complejos z = a + ib, t = c + id, u = p + iq y v = r + is para poder escribir
que no es sino , que también es una suma de cuatro cuadrados, pues cada uno de los dos términos es suma de dos cuadrados. Este resultado tan práctico interviene, en particular, en la demostración del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange: permite demostrar que todo número entero es suma de cuatro cuadrados utilizando únicamente los números primos.
Otro ejemplo, menos clásico, de provechoso recurso a los números complejos es el que citan nuestros colegas de Quebec, Alain Desparois y Paul Guertin (Bulletin de l'Association mathématique du Québec, marzo de 2017), cuando se interesan por las funciones n-similares, es decir, las funciones que son iguales a su derivada nésima, sin serlo a ninguna de sus primeras n – 1 derivadas. La función exponencial es, evidentemente, 1-similar, x exp (–x) es 2-similar y la función seno es 4-similar. ¿Cómo encontrar funciones reales de variable real que sean 3-similares?
