Que eminentes matemáticos como Lagrange, Euler y D'Alembert, y su príncipe Gauss, se enfrentaran a su demostración confirma la importancia del teorema fundamental del álgebra, denominado teorema de D'Alembert–Gauss. Este establece que todo polinomio no constante con coeficientes complejos admite al menos una raíz. En consecuencia, todo polinomio de grado n posee n raíces complejas.
El teorema de Gauss–Lucas ---------------------------
Puesto que la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n – 1, surge naturalmente la cuestión de una posible relación entre las raíces de ambos polinomios. Existe un teorema para las funciones reales. Cuando, durante una excursión de montaña, se desciende hasta la altitud de partida, es evidente que en algún momento se ha tenido que dejar de subir para empezar a bajar. Entonces se ha alcanzado un máximo local del recorrido, un lugar donde la pendiente es nula. Ese es el significado del teorema de Rolle, que establece que si una función real derivable, como un polinomio con coeficientes reales, toma el mismo valor en dos puntos, su función derivada se anula al menos una vez entre esos dos puntos. Así, si el polinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c posee dos raíces reales, su polinomio derivado P'(x) = 2a (x + b / 2a) se anula en x = –b / 2a, semisuma de las raíces de P. Esta observación también es válida para raíces complejas.
Una generalización de esta propiedad para los polinomios complejos, utilizada desde 1836 por Gauss y demostrada por Félix Lucas en 1874, afirma que las raíces de un polinomio derivado P' pertenecen a la envolvente convexa del conjunto de las raíces del polinomio inicial P.
Sea, pues, un polinomio complejo