Representaciones geométricas
A todo seigneur, todo honneur: la geometría es la primera en beneficiarse de la introducción de los números imaginarios. La representación de los complejos como puntos del plano permite «codificar» hábilmente una transformación, de «capturar» apropiadamente el lugar de un punto que se desplaza. Homotecias, similitudes y otras inversiones reciben así una interpretación algebraica simple y se vuelven fácilmente manipulables. Gracias a la herramienta poderosa de los números complejos, resultados de geometría pueden demostrarse, incluso ser descubiertos, como el teorema de Marden. Noções, como la de los fractales, pueden ponerse de relieve.
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Números no tan complejos
¿Qué realidad encierran los números complejos? ¿Cómo «imaginar» que i² sea igual a −1? Una respuesta visual impactante se obtiene mediante una interpretación geométrica de la multiplicación. Y, como guinda del pastel, este mismo modelo explica por qué «menos por menos da más».
Las isometrías del plano
El estudio de las isometrías del plano (simetrías, traslaciones, rotaciones...) puede marear a veces. ¿Qué le ocurre a un punto o a una figura cuando se aplican sucesivamente varias transformaciones? Los números complejos ofrecen una representación tan elegante como esclarecedora.
Semejanzas interesantes...
El estudio de las isometrías se aborda bien desde el punto de vista de los números complejos. Sin embargo, estas transformaciones no son las únicas que pueden describirse mediante fórmulas sencillas. Si prescindimos de la conservación de las longitudes, se abre ante nosotros la amplia familia de las semejanzas.
Otra transformación: la inversión
Las isometrías (y, más en general, las semejanzas) no son las únicas transformaciones del plano que se describen fácilmente mediante números complejos. Lo mismo ocurre con la inversión.
El surgimiento del plano complejo | Tangente
La representación del conjunto de los números complejos mediante un plano apareció mucho después de su invención.
La geometría de los complejos
El sueño de René Descartes —transformar un problema de geometría pura en un problema algebraico— era realizable… ¡pero más de un siglo después! Gracias a los números complejos, nació así otra forma de explorar las figuras y construcciones geométricas.
El teorema de Marden
Los números complejos, nacidos de cálculos imposibles, han encontrado una improbable interpretación geométrica. Este encuentro entre el mundo del álgebra y el de la geometría queda magníficamente ilustrado por teoremas sobre las raíces de un polinomio complejo.