Che matematici eminenti come Lagrange, Eulero e D’Alembert, e il loro principe Gauss, si siano cimentati nella sua dimostrazione conferma l’importanza del teorema fondamentale dell’algebra, detto teorema di D’Alembert–Gauss. Esso afferma che ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ammette almeno una radice. Di conseguenza, ogni polinomio di grado n possiede n radici complesse.
Il teorema di Gauss–Lucas
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Poiché la derivata di un polinomio di grado n è un polinomio di grado n – 1, sorge spontanea la questione di un’eventuale relazione fra le radici di questi due polinomi. Esiste un teorema per le funzioni reali. Quando, durante un’escursione in montagna, tornate alla quota di partenza, è evidente che a un certo punto avete dovuto smettere di salire per cominciare a scendere. Avete allora raggiunto un massimo locale del vostro percorso, un punto in cui la pendenza è nulla. Questo è il significato del teorema di Rolle, secondo cui, se una funzione reale derivabile, come un polinomio a coefficienti reali, assume lo stesso valore in due punti, la sua derivata si annulla almeno una volta fra tali punti. Così, se il polinomio di secondo grado P(x) = ax2 + bx + c possiede due radici reali, il suo polinomio derivato P'(x) = 2a (x + b / 2a) si annulla per x = –b / 2a, semisomma delle radici di P. Questa osservazione vale del resto anche per le radici complesse.
Una generalizzazione di questa proprietà per i polinomi complessi, usata da Gauss fin dal 1836 e dimostrata da Félix Lucas nel 1874, afferma che le radici del polinomio derivato P' appartengono all’inviluppo convesso dell’insieme delle radici del polinomio iniziale P.
Sia dunque un polinomio complesso
