Représentations géométriques
À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables. Grâce à l'outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur.
Tutti gli articoli di questo dossier
Numeri non poi così complessi
Quale realtà descrivono i numeri complessi? Come «immaginare» che i² sia uguale a -1? Una sorprendente risposta visiva passa per un’interpretazione geometrica della moltiplicazione. Ciliegina sulla torta, lo stesso modello spiega perché «meno per meno fa più».
Le isometrie del piano
Lo studio delle isometrie del piano (simmetrie, traslazioni, rotazioni...) può talvolta dare le vertigini. Che cosa accade a un punto o a una figura quando si applicano successivamente più trasformazioni? I numeri complessi ne offrono una rappresentazione tanto elegante quanto illuminante.
Similitudini interessanti...
Lo studio delle isometrie si presta bene al linguaggio dei numeri complessi. Tuttavia, queste trasformazioni non sono le sole a poter essere descritte da formule semplici! Se rinunciamo alla conservazione delle lunghezze, si apre davanti a noi la vasta famiglia delle similitudini.
Un’altra trasformazione: l’inversione
Le isometrie (e, più in generale, le similitudini) non sono le sole trasformazioni del piano che si descrivono facilmente con i numeri complessi. Vale lo stesso per l’inversione.
La nascita del piano complesso | Tangente
La rappresentazione dei numeri complessi mediante un piano apparve molto tempo dopo la loro introduzione.
La geometria dei complessi
Il sogno di René Descartes, ossia trasformare un problema di geometria pura in un problema algebrico, era davvero realizzabile… ma oltre un secolo più tardi! Grazie ai numeri complessi, nacque così un altro modo di esplorare figure e costruzioni geometriche.
Il teorema di Marden
I numeri complessi, nati da calcoli impossibili, hanno trovato un’improbabile interpretazione geometrica. L’incontro fra il mondo dell’algebra e quello della geometria è splendidamente illustrato dai teoremi sulle radici di un polinomio complesso.