Les nombres complexes
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Enfoque algebraico
Los números irracionales, el cero, los números negativos tardaron siglos en ser aceptados. Este también fue el caso de los « imaginarios », que dieron origen a la noción de números complejos. A la base de su – tardía – introducción, estaba el deseo de resolver las ecuaciones de segundo grado que no tenían solución real. Esto condujo al diseño de un conjunto potente, con la estructura de cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, en el que toda ecuación algebraica admite una solución. Mejor aún, en la medida en que los complejos pueden identificarse con un punto del plano, ¡una poderosa correspondencia entre álgebra, análisis, geometría y trigonometría estaba por nacer!
Representaciones geométricas
A todo seigneur, todo honneur: la geometría es la primera en beneficiarse de la introducción de los números imaginarios. La representación de los complejos como puntos del plano permite «codificar» hábilmente una transformación, de «capturar» apropiadamente el lugar de un punto que se desplaza. Homotecias, similitudes y otras inversiones reciben así una interpretación algebraica simple y se vuelven fácilmente manipulables. Gracias a la herramienta poderosa de los números complejos, resultados de geometría pueden demostrarse, incluso ser descubiertos, como el teorema de Marden. Noções, como la de los fractales, pueden ponerse de relieve.
Complejos, trigonometría y análisis
Los números complejos han revolucionado totalmente el análisis: al permitir que la variable de una simple función real tome valores en ℂ, Leonhard Euler y sobre todo Bernhard Riemann abrieron una caja de Pandora cuya riqueza nadie habría podido imaginar. La exponencial finalmente floreció, y con ella toda la trigonometría, cuyas fórmulas se vuelven accesibles para todos. Tanto es así que campos de la física, como la ingeniería eléctrica, ya no pueden prescindir de ella. La función zeta ahora nos hace vislumbrar mil maravillas matemáticas, particularmente sobre los números primos, ladrillos elementales de la aritmética. Pero cuidado con el temerario que aborde la hipótesis de Riemann: el millón de dólares prometido para su demostración da testimonio, por sí solo, de la magnitud y dificultad de la tarea…
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Estos locos por las ecuaciones que crearon los números imaginarios
Los números complejos, calificados en un primer momento de «imaginarios», no se concibieron tal como los estudiamos hoy. Se introdujeron ante todo como herramientas para resolver ecuaciones polinómicas… y desafíos matemáticos que estaban en boga en la Europa del Renacimiento.
Los números complejos según Adrien Douady
La película Dimensions ofrece varias representaciones espectaculares de los números complejos. ¡Hay que redescubrirla urgentemente!
La enseñanza de los números complejos en Francia
Los números complejos, aunque hoy parezcan evidentes en la redacción de los programas escolares, no siempre han formado parte de los contenidos impartidos en los institutos.
¿Qué nombres han recibido los números complejos?
La primera formalización de los números imaginarios, introducidos ya por el matemático italiano Girolamo Cardano en 1545 —aunque entonces aún no tenían nombre—, se debe a su compatriota Rafaele Bombelli en 1572.
Con un ? como cómico
Los clásicos del humor matemático suelen tomar prestadas algunas de las perlas del vocabulario de los números complejos…
Un poco de etimología
El vocabulario específico de los números complejos se debe a varios matemáticos a lo largo de los siglos
Un rodeo por los números complejos
Tomar un desvío durante una demostración para adentrarse en los números complejos puede llevar a uno de esos «imprevistos matemáticos» salvadores.
Una bonita transformación
Una operación con números complejos transforma las rectas en circunferencias y viceversa. Una transformación que conviene tener presente para abordar problemas de rectas y circunferencias…
Les complexes de Bêta
L'Institut intergalactique est le temple de l'excellence où exerce le redouté professeur Phi. Bêta, en pleine déprime, peut compter sur ses amis pour venir à bout de ses complexes…
Déambulations dans le plan complexe
La « marche aléatoire de l'ivrogne » pose de jolis problèmes arithmétiques. L'analogie avec le plan complexe permet de les appréhender plus naturellement.
♦ Magie complexe
♦♦♦ Argand et les imaginaires
♦♦ Le bracelet d'Agathe
♦♦ Un ventilateur de bric et de broc
♦♦♦ Le vieux parchemin
♦♦♦ Triangles semblables sur un triangle
♦♦ La puissance de i
♦♦♦ Les racines cubiques
♦♦ Un cube égal à i ?
