Complejos, trigonometría y análisis
Los números complejos han revolucionado totalmente el análisis: al permitir que la variable de una simple función real tome valores en ℂ, Leonhard Euler y sobre todo Bernhard Riemann abrieron una caja de Pandora cuya riqueza nadie habría podido imaginar. La exponencial finalmente floreció, y con ella toda la trigonometría, cuyas fórmulas se vuelven accesibles para todos. Tanto es así que campos de la física, como la ingeniería eléctrica, ya no pueden prescindir de ella. La función zeta ahora nos hace vislumbrar mil maravillas matemáticas, particularmente sobre los números primos, ladrillos elementales de la aritmética. Pero cuidado con el temerario que aborde la hipótesis de Riemann: el millón de dólares prometido para su demostración da testimonio, por sí solo, de la magnitud y dificultad de la tarea…
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Números complejos y trigonometría
La relación entre la exponencial y las funciones trigonométricas habituales (las funciones circulares) es bien conocida por quienes han estudiado matemáticas. Menos conocida es la extensión de esta relación, para las necesidades de la ingeniería eléctrica, a las funciones hiperbólicas.
La exponencial compleja
¿Cómo extender la clásica función exponencial a los números complejos? ¿Se conservarán sus propiedades habituales? Aunque la exponencial así extendida se estudia fácilmente, el concepto asociado de logaritmo complejo es más difícil de delimitar. Será objeto de polémicas en el siglo XVIII.
La función zeta y la hipótesis de Riemann
El problema más importante de las matemáticas contemporáneas puede formularse de manera totalmente elemental con apenas algunos rudimentos de análisis complejo. Pese a los esfuerzos titánicos de los matemáticos, la hipótesis de Riemann se resiste y sigue fuera de alcance.