Todo el mundo ha oído hablar del espacio llamado euclidiano, conjunto de puntos en el que practicamos la geometría desde que las nociones de sistemas de referencia y coordenadas se ofrecieron al mundo matemático. Con algunos ajustes y un esfuerzo de modelización de la realidad, la dimensión 3 corresponde prácticamente a lo que podemos percibir del entorno en el que nos desenvolvemos, mientras que la dimensión 2 es el plano de las representaciones, desde la pizarra hasta la página del cuaderno.
El espacio en todos sus estados ----------------------------
Sin embargo, la noción abstracta de espacio matemático abarca una concepción muy distinta de la que nos dicta nuestra intuición. Su conceptualización refleja la voluntad de clasificar y cartografiar los saberes, pero también, con afán de universalidad, de agrupar ideas similares. Un espacio es, en efecto, una especie de «entorno de trabajo» para el matemático, que se obtiene dotando a un conjunto de una estructura (una «caja de herramientas») procedente del álgebra, del análisis o incluso de la geometría.
Los razonamientos y cálculos habituales —por ejemplo, sobre los números reales— efectuados con una estructura dada seguirán siendo válidos aunque se cambie el objeto de estudio. Así, estas técnicas podrán aplicarse a conjuntos de números, de vectores, de funciones… o incluso a conjuntos de conjuntos.
Un conjunto E, si está dotado de una estructura algebraica —operaciones + y ∙ que cumplen determinadas condiciones—, se convierte en un espacio vectorial en el que pueden realizarse razonamientos algebraicos y geométricos. Si ese mismo conjunto está dotado de una estructura topológica, se convierte en un espacio topológico y entramos entonces en el análisis —límites, continuidad de funciones, convergencia de sucesiones…—.