Una de las situaciones más célebres que estudia el cálculo de probabilidades es el lanzamiento de un dado, que suponemos no trucado. Representamos esta situación mediante el conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} de los distintos resultados posibles del experimento. Para calcular, por ejemplo, la probabilidad de obtener un número par, empezamos por determinar el número de elementos pares de Ω (hay 3) y después lo dividimos entre el número total de elementos de Ω (en este caso, 6). El cociente 3/6, que se simplifica a 1/2, corresponde a la probabilidad buscada.
Los primeros trabajos sobre teoría de probabilidades siguieron esta vía de mero recuento, que pronto se reveló demasiado limitada. En efecto, puede ocurrir que el dado esté desequilibrado (o trucado, como se supone a veces…), es decir, que su centro de masas no coincida con el centro del cubo o que sus caras no sean exactamente idénticas. En ese caso, los elementos de Ω no tienen todos la misma probabilidad de producirse. Para abarcar este caso y, más generalmente, aquellos en que los distintos resultados posibles de un experimento aleatorio no tienen la misma probabilidad de producirse, hay que ir más allá.
Una idea consiste en asignar a cada elemento ω de Ω un valor P(ω) que corresponda a la probabilidad de que ω sea el resultado del lanzamiento. Si, por ejemplo, el dado muestra un 6 dos veces más a menudo que cualquiera de las demás caras (que, por su parte, conservan la misma probabilidad de salir), tendremos:
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1/7 y P(6) = 2/7.
En efecto, por hipótesis, las probabilidades de 1 a 5 son todas iguales a un mismo valor p, y la probabilidad de 6 es igual a 2p. El valor de p se obtiene entonces con ayuda de una hipótesis complementaria: las probabilidades se suman, igual que en nuestro primer ejemplo la probabilidad del conjunto {2, 4, 6} de los números pares se obtenía sumando las probabilidades de los números 2, 4 y 6. Puesto que la probabilidad de Ω en su totalidad debe ser igual a 1 (es decir, hay un 100 % de probabilidades de que el dado dé un resultado entre 1 y 6), tenemos