Una delle situazioni più celebri studiate dal calcolo delle probabilità è il lancio di un dado, supposto non truccato. Questa situazione è rappresentata dall’insieme Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dei diversi esiti possibili dell’esperimento. Per calcolare, per esempio, la probabilità di ottenere un numero pari, si determina anzitutto il numero di elementi pari di Ω (sono 3), quindi lo si divide per il numero totale di elementi di Ω (qui 6). Il quoziente 3/6, che si semplifica in 1/2, corrisponde alla probabilità cercata.
I primi lavori nella teoria delle probabilità seguirono questa via del puro conteggio, che tuttavia apparve presto troppo riduttiva. Può infatti accadere che il dado sia sbilanciato (o truccato, come talvolta si suppone…), ossia che il suo centro di massa non coincida con il centro del cubo oppure che le sue facce non siano del tutto identiche. In questo caso, gli elementi di Ω non hanno tutti la stessa probabilità di uscire. Per includere questo caso e, più in generale, quelli in cui i diversi esiti possibili di un’esperienza aleatoria non hanno la stessa probabilità di verificarsi, bisogna andare oltre.
Un’idea consiste nell’assegnare a ogni elemento ω di Ω un valore P(ω) corrispondente alla probabilità che ω sia l’esito del lancio. Se, per esempio, il dado mostra 6 con una frequenza doppia rispetto alle altre facce (che invece hanno tutte la stessa probabilità di uscire), allora avremo:
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1/7 e P(6) = 2/7.
Infatti, per ipotesi, le probabilità da 1 a 5 sono tutte uguali a uno stesso valore p, mentre la probabilità di 6 è uguale a 2p. Il valore di p si ottiene allora usando una condizione aggiuntiva: le probabilità si sommano, proprio come nel nostro primo esempio la probabilità dell’insieme {2, 4, 6} dei numeri pari si otteneva sommando le probabilità dei numeri 2, 4 e 6. Poiché la probabilità dell’intero Ω deve essere uguale a 1 (vale a dire che vi è il 100% di probabilità che il dado dia un risultato compreso tra 1 e 6), si ha
