Verso la fine del XIXe secolo, l’analisi matematica aveva raggiunto un edificio rigoroso, fondato su basi solide. In particolare, la nozione di limite, sulla quale i matematici si erano a lungo scontrati, fu definita con precisione grazie ad Augustin Louis Cauchy (1789-1857; vedi Augustin Louis Cauchy, Tangente Hors-série 91, 2024), ma soprattutto al tedesco Karl Weierstrass (1815-1897). Ciò fu possibile grazie a una costruzione dei numeri reali, che fino ad allora sembravano discendere dall’intuizione. Ricordiamo che tutta l’analisi si fonda sulla nozione di limite, in particolare tutto ciò che riguarda derivazione e integrazione. Questa disciplina sembrava quindi poter progredire soltanto attraverso aggiunte marginali. Eppure, nel corso di quello stesso secolo, si delineavano alcuni indizi di una rivoluzione: le nozioni di strutture astratte e gli inizi dell’analisi funzionale.
I segnali premonitori ------------------------
Sulle orme di Évariste Galois (1811-1832), che gettò le basi della teoria dei gruppi poco prima di morire in duello nel 1832 (Les groupes, Bibliothèque Tangente 80, 2023; Évariste Galois, Bibliothèque Tangente 82, 2023), vari matematici, fra cui l’inglese Arthur Cayley (1821-1895), il tedesco Leopold Kronecker (1823-1891) e il francese Camille Jordan (1838-1922), misero in evidenza alcuni assiomi comuni soddisfatti da diversi insiemi dotati di un’operazione. Per esempio, l’associatività vale per l’addizione negli insiemi numerici, ossia si ha l’uguaglianza (a + b) + c = a + (b + c), ma questa proprietà vale anche per le permutazioni o per la composizione delle funzioni. Dopo vari tentativi, si giunse a un consenso nel chiamare «gruppo» un insieme dotato di un’operazione associativa, con un elemento neutro e tale che ogni elemento ammetta un inverso. Parallelamente, il tedesco Hermann Grassmann (1809-1877) definì in modo astratto una nozione, oggi chiamata «spazio vettoriale», destinata a rappresentare il piano ma anche lo spazio in cui viviamo. Ispirandosi a questo lavoro piuttosto oscuro, ma ben consapevole della sua importanza, l’italiano Giuseppe Peano (1858-1932), noto anche per la sua formalizzazione dei numeri naturali, pubblicò nel 1888 Calcolo geometrico. In quest’opera pose assiomaticamente le nozioni di spazio affine e vettoriale. La teoria degli insiemi, elaborata in quell’epoca dal tedesco Georg Cantor (1845-1918), si rivelò il quadro ideale per sviluppare queste nozioni.
Nello stesso periodo, alcuni matematici si interessarono alla convergenza di successioni di funzioni.
Fra loro, vari italiani come Giulio Ascoli (1843-1896) o Cesare Arzéla (1847-1912) dimostrarono proprietà del limite di tali successioni a seconda del contesto. Se dobbiamo credere a Stefan Banach: «Fu Volterra a introdurre le funzioni di linea, ossia funzioni la cui variabile e la cui immagine sono a loro volta funzioni.» Anche Vito Volterra (1860-1940) era italiano e, al di fuori della matematica, fu un fiero oppositore del fascismo.