Per stabilire le equazioni differenziali che descrivono il moto dei corpi nello spazio, si scelgono arbitrariamente dei sistemi di riferimento, o sistemi di coordinate. Il principio di relatività afferma che le leggi della fisica sono indipendenti dalla scelta di tali sistemi inerziali, o galileiani, e in particolare dalla loro orientazione.
Paradossalmente, non vale lo stesso per i vettori fisici che compaiono in queste leggi. Invertendo l’orientazione dello spazio emergono infatti due tipi di vettori: i vettori polari e i vettori assiali, spesso impropriamente detti pseudovettori. Il prodotto vettoriale, la cui definizione è intimamente legata all’orientazione dello spazio, è il principale responsabile di questa situazione.
Vettori che si moltiplicano
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La nozione di prodotto vettoriale, implicita nei lavori di Joseph-Louis Lagrange (1736‒1813), fu definita soltanto nel 1878 da William Kingdon Clifford (1845‒1879), ispirandosi ai quaternioni di William Rowan Hamilton (1805‒1865) e ai lavori di Hermann Günther Grassmann (1809‒1877). Il fisico James Clerk Maxwell (1831‒1879) applicò queste nuove nozioni alla fisica e il suo formalismo fu perfezionato da Clifford stesso, dando origine all’analisi vettoriale (vedi riquadro). Queste teorie si diffusero rapidamente tra i fisici, ma furono accolte nel mondo matematico solo molto più tardi e dopo una profonda riformulazione.
Clifford definisce il prodotto vettoriale di due vettori e come un vettore ortogonale a e , il cui modulo è uguale all’area del parallelogramma formato da e . Si ha così
