Para establecer las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de los cuerpos en el espacio, se eligen arbitrariamente sistemas de referencia, o sistemas de coordenadas. El principio de relatividad establece que las leyes de la física son independientes de la elección de estos sistemas de referencia inerciales, o galileanos, y, en particular, de su orientación.
Paradójicamente, no ocurre lo mismo con los vectores físicos que aparecen en esas leyes. Una inversión de la orientación del espacio revela, en efecto, dos tipos de vectores: los vectores polares y los vectores axiales, a menudo llamados impropiamente pseudovectores. El producto vectorial, cuya definición está íntimamente ligada a la orientación del espacio, es el principal responsable de este hecho.
Vectores que se multiplican -------------------------------
La noción de producto vectorial, implícita en los trabajos de Joseph-Louis Lagrange (1736‒1813), no se definió hasta 1878 por William Kingdon Clifford (1845‒1879), inspirado en los cuaterniones de William Rowan Hamilton (1805‒1865) y en los trabajos de Hermann Günther Grassmann (1809‒1877). El físico James Clerk Maxwell (1831‒1879) aplicó estas nuevas nociones a la física, y el propio Clifford perfeccionó su formalismo para crear el análisis vectorial (véase el recuadro). Estas teorías se extendieron rápidamente entre los físicos, pero no fueron aceptadas en el mundo matemático hasta mucho más tarde y tras una profunda reformulación.
Clifford define el producto vectorial de dos vectores u→\overrightarrow{u} y v→\overrightarrow{v} como un vector w→=u→∧v→\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} ortogonal a u→\overrightarrow{u} y v→\overrightarrow{v}, cuya magnitud es igual al área del paralelogramo formado por u→\overrightarrow{u} y v→\overrightarrow{v}. Así, ∥u→∧v→∥=∥u→∥∥v→∥sin⁡(θ).\| \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \| = \| \overrightarrow{u} \| \| \overrightarrow{v} \| \sin (\theta).