La geometría, mundo de formas ideales creado por los matemáticos griegos, experimentó una mutación analítica con la introducción de las coordenadas en el 17.º siglo, en particular gracias a René Descartes. En 1804, Bernard Bolzano introdujo elementos precursores del cálculo vectorial, que Giusto Bellavitis (1803–1880) establecería con su «cálculo de la equipolencia». La definición moderna de los espacios vectoriales dada por Giuseppe Peano fue desarrollada a principios del 20.º siglo por matemáticos como el polaco Stefan Banach y el húngaro Frigyes Riesz. Fundaron el análisis funcional, en el que las funciones desempeñan el papel de los vectores.
Una geometría de las funciones
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Por aquella época, John von Neumann creó los espacios de Hilbert, espacios funcionales que pueden tener dimensión infinita. Esta estructura fundamental se aplica tanto a vectores geométricos de cualquier dimensión como a conjuntos de sucesiones, polinomios o soluciones de ecuaciones diferenciales. Estos espacios disponen de las herramientas y el vocabulario de la geometría vectorial y, por tanto, están provistos de un producto escalar (véase el recuadro). Solo consideraremos espacios euclídeos, es decir, espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales.
Las funciones, vectores de estos espacios funcionales, deben ser cerradas respecto de las combinaciones lineales. Así ocurre, por ejemplo, con las funciones continuas: si f y g son dos funciones de este tipo y α y β son dos números reales, entonces α f + βg es también una función continua. La integración, operación lineal que asocia a una función un escalar, es una buena candidata para definir un producto escalar. Por ejemplo, se obtiene un producto escalar sobre el conjunto de las funciones numéricas, continuas e integrables en un intervalo I de los reales mediante la forma bilineal simétrica
