Diferencias de notación: ¿matemáticos y físicos irreconciliables?

¿Por qué estas diferencias? --------------------------

Las razones de estas divergencias pueden ser pragmáticas: siguiendo el ejemplo de Euler, los matemáticos utilizan la letra i para denotar la raíz cuadrada de –1, mientras que los físicos han escogido la j, pues la letra i está reservada para la intensidad eléctrica. Los primeros reservan la j para denotar la raíz cúbica de la unidad con parte imaginaria positiva, es decir, $j=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}j=\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; +\; i\; \backslash dfrac\{\backslash sqrt\; 3\}\{2\}.$

En cambio, las diferencias tienen a veces «raíces» más profundas y reflejan concepciones distintas de estos conceptos. Los matemáticos consideran entonces poco rigurosos a los físicos, cuyas notaciones ocultan a veces dificultades reales; por el contrario, estos creen que los matemáticos están en una abstracción inútil y no son conscientes de la realidad física.

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Notación de la derivada --------------------

Cuando Newton introdujo la noción de fluxión, es decir, de derivada (véase el artículo «Las fluxiones de Newton y el cálculo infinitesimal»), representaba la fluxión de la cantidad estudiada con un punto encima. Como se inspiraba en la cinemática, la variable era (implícitamente) el tiempo. Leibniz, en cambio, hace variar claramente una variable y en función de otra variable x.

Se interesa por el cociente entre la diferencia entre los valores de y (denotada dy ) y la diferencia entre los valores de x (denotada dx); naturalmente, lo escribe dy / dx. Cuando dy y dx se vuelven infinitamente pequeños, esto se transforma en un número mediante un proceso algo misterioso en aquella época.

Hay que esperar a Lagrange para obtener la «buena» notación matemática. Un siglo después, tiene plena conciencia de la noción de función y afirma en 1797: «Llamaremos a la función fx función primitiva con respecto a las funciones f’x, f’’x, etc., que derivan de ella, y llamaremos a estas funciones derivadas con respecto a aquella.»

Esta escritura fue adoptada por los matemáticos, mientras que los físicos conservaron la de Leibniz. Para el matemático, no es necesario precisar la variable respecto de la cual se deriva: es inherente a la definición de la función. El físico expresa en realidad un resultado físico, más que una función: este puede depender de una variable y, que a su vez es función de otra variable x. Por ello distingue df / dy de df / dx.

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Denotar el gradiente --------------------

El gradiente es una invención británica: el astrónomo y matemático irlandés William Hamilton lo introdujo en 1853, mediante sus queridos cuaterniones, números de dimensión 4 con los que describía la geometría de dimensión 3. James Maxwell, el de las ondas electromagnéticas, tan físico como matemático, lo transformó en un vector y propuso denotarlo mediante $\mathrm{\nabla }\backslash nabla$, un delta invertido, y llamarlo atled («delta» invertido). Con el pretexto de que este símbolo se parece a un arpa fenicia llamada nabla en griego antiguo, Peter Tait, un físico inglés, propuso dar este nombre al operador.

Pero ¿qué es exactamente el gradiente? Tomemos un subconjunto U del espacio (aquí de dimensión 2), provisto de una base ortonormal $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mathrm{.}(\; \backslash overrightarrow\{u\},\; \backslash overrightarrow\{v\}).$ Consideremos una función f definida en U y con valores escalares; supongamos que f posee derivadas parciales en el punto (x, y ) de U.

Entonces el vector ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)\overrightarrow{u}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)\overrightarrow{v}\backslash dfrac\{\; \backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}\; (x,\; y)\; \backslash overrightarrow\{u\}\; +\; \backslash dfrac\{\; \backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\; (x,\; y)\; \backslash overrightarrow\{v\}$ se llama el gradiente de f en el punto de coordenadas (x, y ). Apunta en la dirección de máxima variación diferencial de f en ese punto. Esta es una «definición de físico». Los matemáticos objetan que depende de la base elegida. En realidad, este vector, denotado a veces $\mathrm{\nabla }(x,y),\backslash nabla\; (x,\; y),$ es el mismo cualquiera que sea la base ortonormal escogida. Para el físico, la estructura euclídea (las nociones de ángulo, distancia…) es inherente al espacio. Para el matemático, el espacio es más general; prefiere definir la diferencial de f en el punto (x, y ): es una forma lineal, denotada $\phi (x,y)\backslash varphi\; (x,\; y)$, y solo una estructura euclídea del espacio permite asociarla a un vector, generalmente denotado $\overrightarrow{{\text{grad}}_f}(x,y),\backslash overrightarrow\{\backslash text\{grad\}\; \_f\}\; (x,\; y),$ que es el único vector que satisface, para todo vector $\overrightarrow{u}:\overrightarrow{{\text{grad}}_f}(x,y)\cdot \overrightarrow{u}=\phi (x,y)\overrightarrow{u}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{u\}\; :\; \backslash overrightarrow\{\backslash text\{grad\}\; \_f\}\; (x,\; y)\; \backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{u\}\; =\; \backslash varphi\; (x,\; y)\; \backslash overrightarrow\{u\}.$ Diferencia de concepción y diferencia de notación: los físicos, muy apegados a la melodía del arpa fenicia, anotan $\mathrm{\nabla }(\overrightarrow{u})\backslash nabla\; (\backslash overrightarrow\{u\}\; )$ lo que los matemáticos escriben $\overrightarrow{{\text{grad}}_f}(\overrightarrow{u})\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{\backslash text\{grad\}\; \_f\}\; (\backslash overrightarrow\{u\}\; ).$