Differenze di notazione: matematici e fisici inconciliabili?

Perché queste differenze? --------------------------

Le ragioni di queste divergenze possono essere pragmatiche: seguendo l’esempio di Eulero, i matematici usano la lettera i per indicare la radice quadrata di –1, mentre i fisici hanno scelto la j, riservando la lettera i all’intensità di corrente elettrica. I primi riservano la j per indicare la radice cubica dell’unità con parte immaginaria positiva, ossia $j=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}j=\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; +\; i\; \backslash dfrac\{\backslash sqrt\; 3\}\{2\}.$

Le differenze, però, hanno talvolta «radici» più profonde e rivelano concezioni divergenti delle nozioni. I matematici giudicano allora i fisici poco rigorosi, con notazioni che talvolta nascondono difficoltà reali; questi ultimi, al contrario, ritengono che i matematici si perdano in un’astrazione inutile e non siano consapevoli della realtà fisica.

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Indicare la derivata --------------------

Quando Newton introdusse la nozione di flussione, cioè di derivata (vedi l’articolo «Le flussioni di Newton e il calcolo infinitesimale»), sormontò di un punto la flussione della grandezza studiata. Poiché si ispirava alla cinematica, la variabile era implicitamente il tempo. Leibniz, invece, fa variare chiaramente una variabile y in funzione di un’altra variabile x.

Si interessa al rapporto tra la differenza delle y (indicata con dy ) e quella delle x (indicata con dx); lo indica naturalmente con dy / dx. Quando dy e dx diventano infinitamente piccoli, questo si trasforma in un numero, attraverso un processo allora alquanto misterioso.

Bisogna attendere Lagrange per ottenere la «buona» notazione matematica. Un secolo più tardi, egli era perfettamente consapevole della nozione di funzione e affermò nel 1797: «Chiameremo funzione fx la funzione primitiva rispetto alle funzioni f’x, f’’x ecc., che ne derivano, e chiameremo queste ultime funzioni derivate rispetto alla prima.»

Questa scrittura fu adottata dai matematici, mentre i fisici conservarono quella di Leibniz. Per il matematico non occorre precisare la variabile rispetto alla quale si deriva: essa è intrinseca alla definizione della funzione. Il fisico indica in realtà un risultato fisico anziché una funzione: esso può dipendere da una variabile y, a sua volta funzione di un’altra variabile x. Distingue quindi df / dy da df / dx.

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Indicare il gradiente ---------------------

Il gradiente è un’invenzione britannica: l’astronomo e matematico irlandese William Hamilton lo introdusse nel 1853, attraverso i suoi amati quaternioni, numeri di dimensione 4 con cui descriveva la geometria di dimensione 3. James Maxwell, quello delle onde elettromagnetiche, fisico e matematico in egual misura, lo trasformò in un vettore e propose di indicarlo con $\mathrm{\nabla }\backslash nabla$, un delta rovesciato, e di chiamarlo atled («delta» al contrario). Prendendo a pretesto la somiglianza di questo simbolo con un’arpa fenicia chiamata nabla in greco antico, Peter Tait, fisico inglese, propone di dare questo nome all’operatore.

Ma che cos’è esattamente il gradiente? Sia U un sottoinsieme dello spazio, qui di dimensione 2, dotato di una base ortonormale $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mathrm{.}(\; \backslash overrightarrow\{u\},\; \backslash overrightarrow\{v\}).$ Consideriamo una funzione f definita su U e a valori scalari; supponiamo che f ammetta derivate parziali nel punto (x, y ) di U.

Il vettore ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)\overrightarrow{u}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)\overrightarrow{v}\backslash dfrac\{\; \backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}\; (x,\; y)\; \backslash overrightarrow\{u\}\; +\; \backslash dfrac\{\; \backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\; (x,\; y)\; \backslash overrightarrow\{v\}$ è detto gradiente di f nel punto di coordinate (x, y ). È diretto nella direzione della massima crescita di f in quel punto. Questa è una «definizione da fisico». I matematici obiettano che dipende dalla base scelta. In realtà, questo vettore, talvolta indicato con $\mathrm{\nabla }(x,y),\backslash nabla\; (x,\; y),$ è lo stesso qualunque sia la base ortonormale scelta. Per il fisico, la struttura euclidea, ossia le nozioni di angolo e distanza, è intrinseca allo spazio. Per il matematico, lo spazio è più generale; preferisce definire la differenziale di f nel punto (x, y ): è una forma lineare, indicata con $\phi (x,y)\backslash varphi\; (x,\; y)$, e solo una struttura euclidea dello spazio permette di associarla a un vettore, generalmente indicato con $\overrightarrow{{\text{grad}}_f}(x,y),\backslash overrightarrow\{\backslash text\{grad\}\; \_f\}\; (x,\; y),$ che è l’unico vettore che soddisfa, per ogni vettore $\overrightarrow{u}:\overrightarrow{{\text{grad}}_f}(x,y)\cdot \overrightarrow{u}=\phi (x,y)\overrightarrow{u}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{u\}\; :\; \backslash overrightarrow\{\backslash text\{grad\}\; \_f\}\; (x,\; y)\; \backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{u\}\; =\; \backslash varphi\; (x,\; y)\; \backslash overrightarrow\{u\}.$ Differenza di concezione e differenza di notazione: i fisici, molto legati alla melodia dell’arpa fenicia, indicano con $\mathrm{\nabla }(\overrightarrow{u})\backslash nabla\; (\backslash overrightarrow\{u\}\; )$ ciò che i matematici scrivono $\overrightarrow{{\text{grad}}_f}(\overrightarrow{u})\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{\backslash text\{grad\}\; \_f\}\; (\backslash overrightarrow\{u\}\; ).$