Degli spazi da scoprire
Spazi di Hilbert, di Banach, spazi vettoriali normati, topologici, misurabili… Concettualizzati alla fine del xix secolo e all'inizio del xx, gli spazi sono indispensabili al lavoro del matematico di oggi. Li si può immaginare come « ambienti di lavoro » che mettono a disposizione « strumenti » (distanze, norme, prodotti scalari, misura…), permettendo di formalizzare le nozioni che intervengono nella risoluzione dei problemi (convergenza, limite, continuità…). Si scopre allora che idee apparse inizialmente sugli insiemi di numeri o di vettori possono applicarsi a insiemi più complessi, come gli spazi di funzioni. Piccola guida per orientarsi negli spazi.
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Spazi per il matematico
La nozione astratta di spazio in matematica corrisponde a una concezione ben diversa da quella suggerita dalla nostra intuizione. A seconda del tipo di struttura disponibile, si possono manipolare concetti provenienti dall’algebra, dall’analisi o dalla geometria.
Il mondo delle funzioni
Molti problemi si affrontano in uno spazio di funzioni, in particolare quelli che riguardano l’approssimazione.
Dare struttura al caso
Mettere ordine nell’imprevedibile: questa è l’ambizione della nozione di spazio di probabilità. Riunendo in una struttura coerente i possibili esiti di un’esperienza aleatoria e le rispettive probabilità, essa fornisce gli strumenti per fare della probabilità una scienza esatta.
Alla conquista degli spazi
Le successioni o le funzioni possono avere limiti. Ma si è avvertita l’esigenza di definire tutto ciò in modo astratto. La nascita della teoria degli insiemi e delle strutture algebriche permise, all’inizio del XX secolo, di far emergere le nozioni di spazio metrico, topologico o normato. Ecco la loro affascinante storia.