En cette fin de XIXe siècle, l’analyse mathématique avait abouti à un édifice rigoureux, basé sur des fondements solides. En particulier la notion de limite, sur laquelle les mathématiciens avaient buté, était définie précisément, grâce à Augustin Louis Cauchy (1789-1857 ; voir Augustin Louis Cauchy, Tangente Hors-série 91, 2024) mais surtout à l’allemand Karl Weierstrass (1815-1897). Cela avait été possible grâce à une construction des nombres réels qui, jusqu’alors, semblaient découler de l’intuition. Rappelons que toute l’analyse est basée sur la notion de limite, en particulier tout ce qui concerne la dérivation et l’intégration. Ainsi, cette discipline ne semblait progresser que par des compléments marginaux. Pourtant, au cours de ce même siècle, quelques indices étaient en germe pour prévoir une révolution : les notions de structures abstraites et les débuts de l’analyse fonctionnelle.

Les signes annonciateurs

À la suite d’Évariste Galois (1811-1832) qui a planté les premiers jalons de la théorie des groupes juste avant de mourir en duel en 1832 (Les groupes, Bibliothèque Tangente 80, 2023 ; Évariste Galois, Bibliothèque Tangente 82, 2023), plusieurs mathématiciens, parmi lesquels l’anglais Arthur Cayley (1821-1895), l’allemand Leopold Kronecker (1823-1891) et le français Camille Jordan (1838-1922), ont mis en lumière quelques axiomes communs que vérifient différents ensembles munis d’une opération. Par exemple, l’associativité est vérifiée pour l’addition dans les ensembles de nombres, c’est-à-dire que l’on a l’égalité (a + b) + c = a + (b + c) mais on peut constater que cette propriété est vraie aussi pour les permutations ou pour la composition des fonctions. Après des tâtonnements, un consensus s’est fait jour pour appeler « groupe » un ensemble muni d’une opération associative, possédant un élément neutre et telle que tout élément admet un symétrique. Parallèlement, l’allemand Hermann Grassmann (1809-1877) a défini de manière abstraite une notion, appelée de nos jours « espace vectoriel », censée représenter le plan mais aussi l’espace dans lequel nous vivons. S’inspirant de ce travail assez abscons mais très conscient de son importance, l’italien Giuseppe Peano (1858-1932), connu également pour sa formalisation des entiers naturels, publie en 1888 Calcolo geometrico. Dans cet ouvrage, il pose de manière axiomatique les notions d’espace affine et vectoriel. La théorie des ensembles, élaborée à cette époque par l’allemand Georg Cantor (1845-1918), s’est trouvée être le cadre idéal pour développer ces notions.
En même temps, des mathématiciens se sont intéressés à des convergences de suites de fonctions.
Parmi eux, plusieurs italiens comme Giulio Ascoli (1843-1896) ou Cesare Arzéla (1847-1912), ont démontré des propriétés de la limite de telles suites en fonction du contexte. Si on en croit Stefan Banach : « c’est Volterra qui a introduit les fonctions de lignes, c’est-à-dire des fonctions dont la variable comme l’image sont elles-mêmes des fonctions. » Vito Volterra (1860-1940) était aussi italien et, en dehors des mathématiques, a été un opposant farouche au fascisme.