Approccio algebrico
I numeri irrazionali, lo zero, i numeri negativi hanno impiegato secoli per essere accettati. Fu lo stesso caso dei « numeri immaginari », che hanno dato vita alla nozione di numeri complessi. All'origine della loro – tardiva – introduzione, c'era il desiderio di risolvere le equazioni di secondo grado che non avevano soluzione reale. Ciò ha portato alla concezione di un insieme potente, dotato della struttura di campo algebricamente chiuso, cioè nel quale ogni equazione algebrica ammette una soluzione. Meglio ancora, nella misura in cui i complessi possono essere identificati con un punto del piano, una potente corrispondenza tra algebra, analisi, geometria e trigonometria stava per nascere !
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Che cos’è un numero complesso?
L’insieme dei numeri complessi si è imposto (non senza difficoltà) quando si è cercato di trovare, oltre ai numeri reali, tutte le soluzioni di un’equazione di secondo grado. Ciò che non si era previsto era la sua ricchezza e i legami che avrebbe tessuto con l’intera matematica. Prime scoperte.
? è un campo algebricamente chiuso
Il campo ? dei numeri complessi fu costruito per fornire soluzioni a tutte le equazioni di secondo grado. La sorpresa è che contiene anche quelle di tutte le equazioni algebriche con coefficienti in ?. In termini tecnici, è algebricamente chiuso.
Moltiplicazioni di interi più rapide | Tangente
I numeri complessi sembrano molto lontani dalle esigenze di redditività del mondo moderno. Eppure sono all’origine di metodi usati per accelerare le moltiplicazioni di grandi numeri interi. Permettono di risparmiare tempo, molto tempo… e quindi denaro!
I numeri complessi di modulo 1
Da semplici simboli formali per il calcolo algebrico, i numeri complessi, grazie alla loro interpretazione geometrica, divennero d’uso corrente a partire dal XIX secolo… in quasi tutti gli ambiti della matematica! Intervengono quindi naturalmente nella teoria dei numeri.
Coniugato, modulo e argomenti
Una volta ammessa l’esistenza di un numero i tale che i²=-1, non si rischia di perdere il contatto con la realtà fisica? Al contrario, si stabilisce una corrispondenza profonda e feconda: semplici manipolazioni algebriche risolvono questioni di geometria pura.