Altri numeri algebrici

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Il numero aureo (vedi l’articolo « I primi irrazionali »), il cui valore è $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$ è legato ai numeri di Fibonacci (vedi l’articolo « Essere, o non essere... »). È infatti il limite, quando n tende all’infinito, del rapporto $\frac{F_{n+1}}{F_n}\backslash frac\{F\_\{n+1\}\}\{F\_n\}$. Per verificarlo, si dimostra che tale rapporto ammette un limite, che questo limite è positivo e che soddisfa l’equazione x² ‒ x ‒ 1 = 0: è dunque proprio il numero aureo!

I numeri di Fibonacci ammettono una generalizzazione: si definiscono allo stesso modo i numeri di Tribonacci. Sono definiti da una relazione di ricorrenza di ordine 3:

*T_n = T_n*_‒1 + *T_n*_‒2 + *T_n*_‒3 per ogni n ≥ 3, con T₀ = T₁ = 0 e T₂ = 1.

I primi valori sono dunque: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24 e 44. Nel nome scelto per questi numeri si può riconoscere una forma di umorismo matematico! Qual è allora il limite, quando n tende all’infinito, del rapporto $\frac{T_{n+1}}{T_n}\backslash frac\{T\_\{n+1\}\}\{T\_n\}$? Si dimostra che è l’unica radice positiva dell’equazione x³ ‒ x² ‒ x ‒ 1 = 0; vale circa 1,839286755 e la sua espressione esatta è $\frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3}\backslash frac\{1+\backslash sqrt[3]\{19+3\backslash sqrt\{33\}\}+\backslash sqrt[3]\{19-3\backslash sqrt\{33\}\}\}\{3\}$. Talvolta è chiamata numero d’argento (ci si chiede perché…)! Qui preferiremo il nome di costante di Tribonacci, poiché esiste un altro numero d’argento, appartenente alla famiglia dei numeri metallici (vedi Tangente 203, 2022), definito come la radice positiva dell’equazione x² ‒ 2x ‒ 1 = 0 e uguale a $1+\sqrt{2}1+\backslash sqrt\{2\}$.