Algunos números algebraicos

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El número áureo (véase el artículo « Los primeros irracionales »), cuyo valor es $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$ está ligado a los números de Fibonacci (véase el artículo « Ser o no ser... »). En efecto, es el límite, cuando n tiende al infinito, del cociente $\frac{F_{n+1}}{F_n}\backslash frac\{F\_\{n+1\}\}\{F\_n\}$. Para comprobarlo, se demuestra que este cociente converge, que su límite es positivo y que satisface la ecuación x² ‒ x ‒ 1 = 0: ¡es, pues, el número áureo!

Los números de Fibonacci se generalizan: del mismo modo se definen los números de Tribonacci. Se definen mediante una relación de recurrencia de orden 3:

*T_n = T_n*_‒1 + *T_n*_‒2 + *T_n*_‒3 para todo n ≥ 3, con T₀ = T₁ = 0 y T₂ = 1.

Los primeros valores son, por tanto: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24 y 44. ¡En el nombre elegido para estos números se puede reconocer una forma de humor matemático! ¿Cuál es entonces el límite, cuando n tiende a infinito, del cociente $\frac{T_{n+1}}{T_n}\backslash frac\{T\_\{n+1\}\}\{T\_n\}$? Se demuestra que es la única raíz positiva de la ecuación x³ ‒ x² ‒ x ‒ 1 = 0; vale aproximadamente 1,839286755 y su expresión exacta es $\frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3}\backslash frac\{1+\backslash sqrt[3]\{19+3\backslash sqrt\{33\}\}+\backslash sqrt[3]\{19-3\backslash sqrt\{33\}\}\}\{3\}$. A veces recibe el nombre de número de plata (uno se pregunta por qué...). Preferiremos aquí llamarla constante de Tribonacci, pues existe otro número de plata, miembro de la familia de los números metálicos (véase Tangente 203, 2022), definido como la raíz positiva de la ecuación x² ‒ 2x ‒ 1 = 0 e igual a $1+\sqrt{2}1+\backslash sqrt\{2\}$.