-
Le nombre d’or (voir article « Les premiers irrationnels »), dont la valeur est 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} est lié aux nombres de Fibonacci (voir article « En être, ou pas... »). En effet, c’est la limite, quand n tend vers l’infini, du rapport Fn+1Fn\frac{F_{n+1}}{F_n} . Pour le voir, on montre que ce rapport admet une limite, que cette limite est positive et qu’elle vérifie l’équation x2 ‒ x ‒ 1 = 0 : c’est donc bien le nombre d’or !
Les nombres de Fibonacci se généralisent : on définit de la même manière les nombres de Tribonacci. Ils sont définis par une relation de récurrence d’ordre 3 :
*Tn = Tn*‒1 + *Tn*‒2 + *Tn*‒3 pour tout n ≥ 3, avec T0 = T1 = 0 et T2 = 1.
Les premières valeurs sont donc : 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24 et 44. On peut reconnaître dans le nom choisi pour ces nombres une forme de l’humour mathématique ! Quelle est alors la limite, quand n tend vers l’infini, du rapport Tn+1Tn\frac{T_{n+1}}{T_n} ? On montre que c’est la seule racine positive de l’équation x3 ‒ x2 ‒ x ‒ 1 = 0 ; elle vaut environ 1,839286755 et son expression exacte est 1+19+3333+19−33333\frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3}. Elle est quelquefois appelée le nombre d’argent (on se demande pourquoi…) ! On lui préférera ici le nom de constante de Tribonacci car il existe un autre nombre d’argent, membre de la famille des nombres métalliques (voir Tangente 203, 2022), défini comme racine positive de l’équation x2 ‒ 2x ‒ 1 = 0 et égal à 1+21+\sqrt{2} .