nombre d'argent

Imaginez un rectangle dont le grand côté mesure environ 2,414 fois le petit. Retirez-lui deux carrés égaux, placés côte à côte. Le petit rectangle restant possède la même forme que le rectangle initial, après rotation.

Cette proportion est l'un des nombres appelés « nombre d'argent ». Le nom peut aussi viser deux autres valeurs, obtenues en généralisant une propriété différente du nombre d'or. Il faut donc toujours regarder la définition choisie.

Le nombre d'argent n'a pas de définition universelle. Ce nom regroupe plusieurs constantes proposées comme généralisations du nombre d'or, selon que l'on prolonge une propriété liée aux suites, aux rectangles ou à la trigonométrie. L'équation donnée avec le nom est donc indispensable pour identifier la valeur visée.

Dans la variante issue de la suite de Tribonacci, le nombre est l'unique racine positive de $x^3-x^2-x-1=0x^3-x^2-x-1=0$ et vaut environ 1,839286755. Si t_n désigne le terme d'indice n, cette équation est caractéristique de la récurrence $t_n=t_{n-1}+t_{n-2}+t_{n-3}t\_n=t\_\{n-1\}+t\_\{n-2\}+t\_\{n-3\}$, où trois termes précédents interviennent au lieu de deux pour Fibonacci.

Dans la variante géométrique, le rapport x du grand côté au petit côté d'un rectangle vérifie $x^2=2x+1x^2=2x+1$. Sa racine positive est x = 1 + √2, soit environ 2,414213562. Elle est associée à la récurrence $v_n=2v_{n-1}+v_{n-2}v\_n=2v\_\{n-1\}+v\_\{n-2\}$, où v_n désigne le terme d'indice n. Dans la variante trigonométrique, la constante u vaut 2 sin 10°, soit environ 0,347296356, et vérifie $u^3=3u-1u^3=3u-1$. Elle est associée à $w_n=3w_{n-2}-w_{n-3}w\_n=3w\_\{n-2\}-w\_\{n-3\}$, où w_n désigne le terme d'indice n. La dernière équation possède deux racines positives : la condition 0 < u < 1 sélectionne bien 2 sin 10°.

Construisons un rectangle d'argent de petit côté 1. Son grand côté, noté x, est supérieur à 2 afin que deux carrés de côté 1 puissent être retirés. Le rectangle restant mesure 1 par x − 2 et doit être semblable au rectangle initial après rotation.

1. L'égalité des rapports de forme donne $x=\frac{1}{x-2}x=\backslash frac\{1\}\{x-2\}$.

2. Comme x − 2 est positif, nous pouvons multiplier par cette longueur : $x(x-2)=1x(x-2)=1$, donc $x^2-2x-1=0x^2-2x-1=0$. La figure matérialise les deux carrés retirés et le rectangle restant.

3. Les deux solutions sont 1 − √2 et 1 + √2. Une longueur étant positive et x devant dépasser 2, nous retenons x = 1 + √2 ≈ 2,414213562.

4. Contrôlons la similitude : le reste vaut x − 2 = √2 − 1 ≈ 0,414213562, et son rapport après rotation vaut 1/(√2 − 1) = 1 + √2 = x. Le rectangle restant a donc exactement la même proportion.

Dans un texte de géométrie, examinez l'opération décrite sur le rectangle. Si deux carrés sont retirés avant de retrouver la même forme, la valeur attendue est 1 + √2 ; avec un seul carré, il s'agit du nombre d'or.

Dans une étude de suites, regardez combien de termes précédents interviennent. La somme des trois précédents possède l'équation caractéristique dont la racine positive est la constante de Tribonacci, environ 1,839 ; la somme des deux précédents renvoie au cadre de Fibonacci.

Dans un contexte trigonométrique, la présence de 2 sin 10° désigne la valeur proche de 0,347. Écrire seulement « nombre d'argent » ne suffit pas : recopiez l'équation, la construction ou l'angle qui fixe la convention.

Nombre d'or. Sa valeur positive vérifie x² = x + 1 et vaut environ 1,618. Si le rectangle retrouve sa forme après le retrait d'un seul carré, le rapport est le nombre d'or, et non la variante géométrique du nombre d'argent.

Racine carrée de 2. Le nombre √2 vaut environ 1,414, tandis que la proportion d'argent géométrique vaut 1 + √2, environ 2,414. Un rapport annoncé comme « 1,414 » correspond donc à √2, pas à cette proportion d'argent.

Suite de Tribonacci. La suite est une succession de termes définie par une récurrence ; la constante de Tribonacci est la racine positive fixe, environ 1,839286755, de son équation caractéristique. Une liste de termes et une racine d'équation ne sont pas le même objet.

Nom sans convention. « Nombre d'argent » peut désigner au moins les trois valeurs 1,839286755, 2,414213562 et 0,347296356 environ. Si aucune équation ni construction n'accompagne le terme, la valeur ne peut pas être déduite sans ambiguïté ; il faut demander la convention employée.

Équation trigonométrique non suffisante. L'équation x³ = 3x − 1 possède trois racines réelles, dont deux positives. Dire seulement « la racine positive » n'isole donc pas 2 sin 10° ; il faut préciser qu'il s'agit de la racine comprise entre 0 et 1.

Arrondis pris pour des égalités. Les écritures 1,839, 2,414 et 0,347 sont des approximations. Pour une vérification algébrique exacte, utilisez respectivement l'équation de Tribonacci, la valeur 1 + √2 ou l'expression 2 sin 10°, plutôt que leur développement décimal tronqué.

nombre d'or — Retrouver la constante de départ et comparer ses propriétés algébrique, géométrique et séquentielle.

suite de Tribonacci — Approfondir la récurrence à trois termes dont l'équation caractéristique fournit la première constante proposée.