ArithmétiqueNotion · Glossaire
nombre de Lucas
Les nombres de Lucas forment une suite d'entiers naturels définie par la relation de récurrence uₙ₊₂ = uₙ + uₙ₊₁, avec les valeurs initiales u₁ = 1 et u₂ = 3. Cette suite partage la même loi de récurrence que la suite de Fibonacci, mais diffère par ses conditions initiales. Les nombres de Lucas interviennent notamment dans la résolution de certaines équations diophantiennes et dans l'étude des propriétés arithmétiques des suites récurrentes linéaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire les sept premiers nombres de Lucas à partir de 1 et 3.
- Vérifier chaque terme en additionnant les deux termes qui le précèdent immédiatement.
- Distinguer la suite de Lucas de la suite de Fibonacci par leurs conditions initiales.
- Passer sans confusion entre les indexations commençant à 0 et à 1.
- Relier la récurrence à son équation caractéristique et à une formule explicite.
En clair
Partons de deux nombres, 1 et 3. Additionnez-les : vous obtenez 4. Recommencez avec les deux derniers nombres, 3 et 4, pour obtenir 7 ; puis 4 et 7 donnent 11. La suite se poursuit ainsi : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29…
Ces entiers sont les nombres de Lucas. Chaque nouveau terme garde la mémoire des deux précédents : une fois les deux valeurs de départ choisies, toute la suite est déterminée.
Définition
La suite des nombres de Lucas est une suite d'entiers. Si un désigne son terme d'indice n, elle part de u1 = 1 et u2 = 3. Pour tout entier n ≥ 1, le terme situé deux rangs plus loin est la somme des deux termes précédents : . Ces deux valeurs initiales et cette relation déterminent un unique terme à chaque indice positif.
On rencontre aussi la notation Ln et une indexation commençant à zéro : L0 = 2 et L1 = 1. Elle décrit les mêmes nombres, puisque L2 = 3, L3 = 4 et ainsi de suite. Avec la convention de cette fiche, un = Ln pour n ≥ 1.
La règle de récurrence est la même que pour la suite de Fibonacci, mais les valeurs initiales ne le sont pas. Cette différence suffit à produire une autre suite. Les nombres de Lucas apparaissent notamment dans certaines équations diophantiennes, où les solutions cherchées sont entières, et dans l'étude arithmétique des suites récurrentes linéaires.
Un exemple, pas à pas
Calculons les nombres de Lucas jusqu'au septième terme. Les données sont u1 = 1, u2 = 3 et la règle selon laquelle chaque nouveau terme est la somme des deux précédents.
1. Les deux termes précédant u3 sont 1 et 3, donc u3 = 1 + 3 = 4.
2. On décale la paire d'un rang : u4 = 3 + 4 = 7, puis u5 = 4 + 7 = 11. La figure isole ce dernier calcul et montre le rôle des deux termes précédents.
3. Le même geste donne u6 = 7 + 11 = 18, puis u7 = 11 + 18 = 29. On obtient donc 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29.
4. Contrôlons le dernier résultat avec les deux termes qui le précèdent immédiatement : 11 + 18 = 29. Employer 7 et 18 donnerait 25 et révélerait un décalage d'indice.
En pratique
Pour prolonger la suite, conservez toujours les deux derniers termes. Leur somme devient le terme suivant, puis la paire se décale d'un rang. Dans une même convention d'indexation, des valeurs de départ différentes donnent une autre suite. En revanche, une même suite peut satisfaire plusieurs règles de récurrence.
Pour vérifier qu'une liste proposée est la suite de Lucas, vérifiez d'abord que ses deux premiers termes sont 1 et 3, puis testez chaque terme à partir du troisième. Dans 1, 3, 4, 7, 12, l'erreur se repère au cinquième rang, car 4 + 7 vaut 11 et non 12.
Dans un problème arithmétique, la récurrence sert à produire des candidats entiers et à étudier leurs propriétés. Si le problème demande seulement une croissance approximative pour de grands indices, une formule explicite peut être plus pratique que le calcul terme par terme.
À ne pas confondre
Suite de Lucas et suite de Fibonacci. Elles additionnent toutes deux les deux termes précédents, mais leurs valeurs initiales les séparent. Avec une indexation à partir de 1, Lucas commence par 1, 3, tandis que Fibonacci commence par 1, 1 ; leur troisième terme vaut donc respectivement 4 et 2.
Un nombre de Lucas et son rang. Le rang indique la position, pas la valeur. Dans la convention u1 = 1, u2 = 3, le cinquième nombre de Lucas est u5 = 11 : 5 est l'indice et 11 est le terme.
Limites et pièges
Convention d'indexation. Une table peut commencer par L0 = 2, L1 = 1, alors que la source commence par u1 = 1, u2 = 3. Avant de comparer deux résultats, vérifiez le premier indice affiché ; avec ces conventions, le nombre 3 porte dans les deux cas l'indice 2.
La récurrence seule ne suffit pas. La règle un+2 = un+1 + un admet une infinité de suites selon les deux valeurs initiales. Sans 1 et 3 — ou, dans l'autre convention, 2 et 1 — on ne peut pas identifier la suite de Lucas.
Prolongement aux indices négatifs. La définition source porte sur les entiers naturels. Si l'on prolonge la suite vers la gauche, la relation impose L−n = (−1)nLn pour n ≥ 0 ; les termes ne sont alors plus tous naturels. Il faut annoncer ce changement de domaine.
Pour aller plus loin
suite de Lucas — Approfondir la suite entière, ses notations et les conséquences de sa relation de récurrence.
suite de Fibonacci — Comparer deux conditions initiales appliquées à la même récurrence et suivre leurs effets terme après terme.
En adoptant la convention L0 = 2 et L1 = 1, l'équation caractéristique de la récurrence est . Si φ et ψ désignent ses deux racines, on obtient la formule explicite , qui relie la récurrence à sa croissance.
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