Lucas Edouard

En 1861, Édouard Lucas quitte Amiens pour entrer à l’École normale supérieure. Il passe ensuite de l’Observatoire de Paris aux classes préparatoires des lycées Charlemagne et Saint-Louis. Ce parcours d’enseignant et de chercheur nourrit une œuvre où les calculs savants rencontrent les jeux.

Une suite de nombres, un test de primalité, les tours de Hanoï ou des réglettes de calcul montrent les deux faces de son travail : chercher des propriétés profondes et les rendre manipulables.

François Édouard Anatole Lucas (1842–1891) est un mathématicien français né à Amiens dans une famille modeste. Après ses études secondaires dans cette ville, il entre à l’École normale supérieure en 1861 et prépare l’agrégation. Il travaille quelque temps à l’Observatoire de Paris sous la direction de Le Verrier, puis enseigne en classes préparatoires, notamment aux lycées Charlemagne et Saint-Louis à Paris. Il meurt en 1891 des suites d’une blessure accidentelle.

Ses recherches couvrent la géométrie des transformations, la géométrie projective, la cryptographie et surtout la théorie des nombres. Il étudie la suite de Fibonacci et introduit une suite régie par la même récurrence, mais commençant par 2 et 1 au lieu de 0 et 1 : la suite de Lucas. Les termes obtenus sont les nombres de Lucas. Son traité Théorie des nombres, consacré à l’arithmétique diophantienne, paraît en 1891.

Lucas conçoit aussi un test de primalité, perfectionné par Derrick Lehmer dans les années 1930 et désormais nommé test de Lucas-Lehmer. Son application aux nombres de Mersenne lui permet d’établir leur primalité ou leur compositivité jusqu’à M₁₂₇, entier de 39 chiffres. Ses Récréations mathématiques rassemblent notamment carrés magiques, solitaire, dominos et tours de Hanoï. La présentation canonique de ce dernier problème lui est attribuée. Il participe enfin aux réglettes de Genaille-Lucas, qui améliorent les baguettes de Neper, et signe certains travaux du pseudonyme N. Claus de Siam, anagramme de Lucas d’Amiens.

Construisons les premiers nombres de Lucas. Les données sont la valeur initiale L₀ = 2, la valeur suivante L₁ = 1 et la règle qui additionne les deux termes précédents.

1. Le troisième terme vaut L₂ = 2 + 1 = 3.

2. Le terme suivant vaut L₃ = 1 + 3 = 4, puis L₄ = 3 + 4 = 7.

3. En poursuivant le même geste, L₅ = 4 + 7 = 11 et L₆ = 7 + 11 = 18. On obtient donc 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18.

Le contrôle consiste à reprendre n’importe quel terme à partir de L₂ : 18 est bien la somme de 7 et 11. La comparaison avec 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 montre que la suite de Fibonacci suit la même règle, mais pas les mêmes valeurs initiales.

Pour observer une récurrence, on peut produire les nombres de Lucas terme après terme. La suite de Fibonacci constitue l’alternative naturelle : le critère de choix est le couple initial, 2 et 1 pour Lucas, 0 et 1 pour Fibonacci.

Pour étudier certains nombres de Mersenne, le test de Lucas-Lehmer fournit un critère de primalité adapté. Un test général pour les entiers est préférable lorsque le nombre examiné n’appartient pas à cette famille.

Pour entrer dans l’œuvre par la manipulation, les tours de Hanoï, les carrés magiques, le solitaire et les dominos donnent des problèmes concrets. Les réglettes de Genaille-Lucas relèvent d’un autre geste : effectuer des calculs avec un instrument matériel.

Suite de Lucas et suite de Fibonacci. Elles obéissent à la même addition des deux termes précédents, mais leurs valeurs initiales les séparent. La première commence par 2 et 1 ; la seconde par 0 et 1.

Lucas et Lehmer. Lucas élabore le test de primalité ; Derrick Lehmer l’améliore dans les années 1930. Le nom composé « test de Lucas-Lehmer » conserve ces deux contributions distinctes.

Édouard Lucas et N. Claus de Siam. Ces signatures ne désignent pas deux auteurs : la seconde est le pseudonyme de Lucas et une anagramme de « Lucas d’Amiens ».

Une même récurrence ne suffit pas à identifier une suite. Si seuls les calculs d’addition sont visibles, le symptôme est une attribution hésitante à Lucas ou Fibonacci. Il faut aussi contrôler les deux valeurs initiales.

L’indice 127 n’est pas le nombre de chiffres. Dans M₁₂₇, 127 est l’indice mentionné par le nom, tandis que l’entier compte 39 chiffres. Il faut conserver ces deux informations séparées.

Le nom actuel du test rassemble deux époques. Attribuer toute sa forme à Lucas seul efface l’amélioration de Lehmer dans les années 1930. Il faut distinguer l’élaboration initiale et le perfectionnement ultérieur.

Une attribution n’est pas une date de création. La source attribue à Lucas la présentation canonique des tours de Hanoï sans en donner l’année. Il faut donc éviter de déduire une date précise de cette seule mention.

La suite de Fibonacci permet de comparer deux suites qui partagent leur récurrence tout en différant par leurs valeurs initiales.

Le test de Lucas-Lehmer approfondit le critère de primalité associé aux nombres de Mersenne.

Le problème des tours de Hanoï développe la récréation mathématique dont la présentation canonique est attribuée à Lucas.

Le nombre de Mersenne situe la famille d’entiers sur laquelle le test de Lucas-Lehmer est appliqué.

Le nombre premier rappelle le verdict recherché par un test de primalité.