suite de Lucas

Écrivons d’abord 2 et 1. Pour obtenir le nombre suivant, on additionne les deux derniers : 2 + 1 donne 3. On recommence avec 1 et 3, ce qui donne 4, puis avec 3 et 4, ce qui donne 7. La suite de Lucas est cette chaîne de nombres : 2, 1, 3, 4, 7, 11… Deux valeurs de départ différentes auraient créé une autre suite, même en gardant la même règle d’addition.

La suite de Lucas est une suite de nombres indexés à partir de 0. Le terme d’indice 0 vaut 2 et celui d’indice 1 vaut 1. Si la lettre n désigne un indice entier supérieur ou égal à 1, chaque nouveau terme est la somme des deux précédents : $L(n+1)=L(n)+L(n-1)L(n+1)=L(n)+L(n-1)$. Les conditions initiales et cette relation de récurrence déterminent successivement tous les termes : 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29…

La règle de récurrence est la même que pour la suite de Fibonacci, mais les valeurs initiales diffèrent. Les deux suites ne coïncident donc pas. Si F désigne la suite de Fibonacci indexée à partir de 0, avec F(0) = 0 et F(1) = 1, leurs termes sont néanmoins reliés, pour les indices où les termes écrits sont définis, par $L(n)=2F(n-1)+F(n)L(n)=2F(n-1)+F(n)$ et $F(n)=\frac{2L(n-1)+L(n)}{5}F(n)=\backslash frac\{2L(n-1)+L(n)\}\{5\}$. Chacune peut ainsi être exprimée à partir de l’autre.

Quatre éléments organisent la suite. L’indice repère la place d’un terme. Les deux conditions initiales, L(0) = 2 et L(1) = 1, amorcent le calcul. La relation de récurrence additionne deux termes consécutifs. Enfin, la liste ordonnée conserve les résultats dans leur ordre : 2, 1, 3, 4, 7, 11…

Chaque terme à partir de L(2) dépend immédiatement des deux termes placés avant lui. En retour, chaque résultat devient une donnée pour les deux calculs suivants. Par exemple, L(2) = 3 participe à L(3) = 4 puis à L(4) = 7. Cette dépendance en chaîne suffit à construire la suite entière vers les indices croissants.

Une représentation en chaîne rend visibles les additions successives jusqu’à L(5) = 11. La couleur ou la forme des cases ne définit pas la suite : seules comptent les deux valeurs initiales, l’ordre des indices et la règle d’addition.

On veut calculer L(5). Les données sont L(0) = 2, L(1) = 1 et la règle selon laquelle un terme est la somme des deux précédents. Chaque résultat sera réutilisé dans l’opération suivante.

1. Calculer le terme d’indice 2 : L(2) = L(1) + L(0) = 1 + 2 = 3.

2. Calculer le terme d’indice 3 : L(3) = L(2) + L(1) = 3 + 1 = 4.

3. Calculer le terme d’indice 4 : L(4) = L(3) + L(2) = 4 + 3 = 7.

4. Calculer le terme demandé : L(5) = L(4) + L(3) = 7 + 4 = 11.

Le résultat est donc L(5) = 11. Pour le contrôler, on soustrait le terme précédent : 11 − 7 = 4, ce qui redonne bien L(3), l’autre terme employé dans la dernière addition.

Pour calculer un terme proche du début, on part de 2 et 1, puis on avance sans sauter d’indice. Cette méthode est préférable à une conversion par Fibonacci lorsque quelques termes seulement sont demandés : chaque addition se vérifie avec les deux termes précédents.

Pour passer de Fibonacci à Lucas, on utilise l’identité qui combine deux termes consécutifs de Fibonacci. Si l’on connaît au contraire deux termes consécutifs de Lucas, l’identité réciproque donne le terme de Fibonacci correspondant après division par 5. Le choix dépend donc de la suite dont les termes sont déjà disponibles.

Pour contrôler une liste annoncée, on vérifie chaque terme à partir du troisième. Ce contrôle local évite de reconstruire toute la liste lorsqu’une erreur apparaît. Une seule égalité fausse suffit à montrer que la liste ne suit pas la récurrence ; il faut aussi vérifier les deux valeurs initiales pour identifier précisément Lucas.

La suite de Fibonacci et la suite de Lucas emploient la même addition des deux termes précédents, mais elles n’ont pas les mêmes conditions initiales. Le test décisif porte sur le début de la liste : Lucas commence par 2, 1, 3, 4, tandis qu’une liste qui ne commence pas par L(0) = 2 et L(1) = 1 n’est pas la suite de Lucas. Les identités reliant L et F ne rendent pas leurs termes égaux indice par indice.

Même récurrence, autre suite. La règle « additionner les deux précédents » ne suffit pas à identifier Lucas. Si les deux valeurs de départ ne sont pas 2 et 1 aux indices 0 et 1, les termes suivants peuvent respecter la règle tout en formant une autre suite. Il faut contrôler la règle et les conditions initiales.

Indices décalés. Le premier terme donné est L(0), pas L(1). Ainsi, 11 est L(5) parce que les indices sont 0, 1, 2, 3, 4, 5. Pour éviter une erreur d’une unité, il faut écrire l’indice sous chaque valeur avant de compter.

Identités au bord de l’indexation. Les relations avec Fibonacci font intervenir le terme d’indice n − 1. Avec les suites présentées à partir de l’indice 0, les appliquer directement à n = 0 demanderait un terme d’indice −1 qui n’a pas été défini ici. Il faut donc les utiliser à partir de n = 1 dans ce cadre.

La suite de Fibonacci permet d’étudier l’autre suite gouvernée par la même récurrence et d’interpréter directement les deux identités qui expriment L à partir de F, puis F à partir de L.