suite de Tribonacci

Écrivez 0, 1 et 1. Additionnez ces trois nombres : vous obtenez 2. Pour continuer, gardez les trois derniers nombres, 1, 1 et 2, puis additionnez-les : le suivant vaut 4. La même fenêtre glisse encore et donne 7, puis 13, puis 24.

Cette chaîne est la suite de Tribonacci. Elle ressemble à la suite de Fibonacci, mais sa mémoire porte sur trois termes au lieu de deux : chaque nouveau nombre dépend des trois places qui le précèdent.

La suite de Tribonacci est une suite de nombres indexés par les entiers naturels. Le nombre T_n désigne son terme d'indice n. Ses trois valeurs initiales sont T₀ = 0, T₁ = 1 et T₂ = 1. Pour tout entier n ≥ 0, le terme situé trois rangs plus loin est donné par $T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n}T\_\{n+3\}=T\_\{n+2\}+T\_\{n+1\}+T\_n$. Ces valeurs initiales et cette relation de récurrence d'ordre 3 déterminent ensemble tous les termes.

Les nombres obtenus, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, …, sont les entiers tribonacciques. La suite appartient à la famille des suites de k-bonacci : dans une telle suite, chaque terme additionne les k termes précédents. Ici, k vaut 3 ; pour Fibonacci, k vaut 2. Les valeurs initiales font partie de la définition : les changer produit une autre suite satisfaisant la même récurrence.

Le polynôme caractéristique associé est x³ − x² − x − 1. Ses trois racines permettent d'exprimer T_n comme une combinaison linéaire de leurs puissances n-ièmes. Sa racine réelle vaut environ 1,8393 : c'est la constante de Tribonacci. Les deux autres racines sont complexes conjuguées et de module inférieur à 1.

La suite repose sur quatre éléments. Un indice entier naturel n repère chaque place. Trois termes initiaux, 0, 1 et 1, amorcent le calcul. Une fenêtre ordonnée conserve les trois termes qui précèdent la place à remplir. Enfin, la relation de récurrence additionne ces trois valeurs.

La fenêtre dépend de l'indice : pour calculer T_n+3, elle contient T_n, T_n+1 et T_n+2. Le résultat devient ensuite le terme le plus récent de la fenêtre suivante. La règle seule ne fixe donc pas une suite unique ; elle doit être associée aux trois valeurs initiales. Ces données suffisent à construire chaque entier tribonaccique de proche en proche.

Partons des trois données T₀ = 0, T₁ = 1 et T₂ = 1. Nous voulons construire les termes jusqu'à l'indice 8 en ne réutilisant, à chaque étape, que les trois valeurs précédentes.

1. T₃ = 1 + 1 + 0 = 2.
2. T₄ = 2 + 1 + 1 = 4.
3. T₅ = 4 + 2 + 1 = 7.
4. T₆ = 7 + 4 + 2 = 13.
5. T₇ = 13 + 7 + 4 = 24.
6. T₈ = 24 + 13 + 7 = 44.

La construction donne donc 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44. Chaque flèche de la figure matérialise une fenêtre de trois termes et la somme qu'elle produit.

Pour contrôler le dernier résultat sans reprendre toute la chaîne, relisons seulement les indices 5, 6 et 7 : T₅ = 7, T₆ = 13 et T₇ = 24. Leur somme vaut 7 + 13 + 24 = 44, ce qui confirme T₈.

Pour prolonger la liste, il suffit de conserver les trois derniers termes. Après 13, 24 et 44, le terme suivant vaut 13 + 24 + 44 = 81. Repartir de termes plus anciens conduirait à une autre somme.

Pour vérifier qu'une liste suit bien la règle, testez chaque terme à partir du quatrième. Dans 0, 1, 1, 2, 4, 7, le contrôle donne successivement 2 = 0 + 1 + 1, 4 = 1 + 1 + 2 et 7 = 1 + 2 + 4.

Pour comparer avec Fibonacci, observez le nombre de termes additionnés. Deux termes précédents signalent Fibonacci ; trois signalent Tribonacci. Si la règle en demande k, le cadre adapté est celui des suites de k-bonacci.

La suite de Fibonacci additionne les deux termes précédents, tandis que la suite de Tribonacci en additionne trois. Avec les valeurs 0, 1, 1, le terme suivant tranche immédiatement : Fibonacci donne 2 à partir de 1 + 1 ; Tribonacci donne aussi 2, mais à partir de 0 + 1 + 1. Au terme suivant, les listes se séparent : 3 pour Fibonacci contre 4 pour Tribonacci.

La constante de Tribonacci, environ 1,8393, n'est pas la suite elle-même : c'est la racine réelle du polynôme x³ − x² − x − 1. La suite est une liste d'entiers ; la constante est un nombre réel qui intervient dans l'expression et la croissance de ses termes.

La récurrence ne s'applique qu'à partir de trois termes connus. Avec seulement 0 et 1, le terme suivant n'est pas déterminé par la définition de Tribonacci ; il faut fournir une troisième valeur initiale.

Conserver la règle tout en changeant T₀, T₁ ou T₂ ne reproduit pas la suite 0, 1, 1, 2, 4, 7, … La suite canonique exige à la fois la relation d'ordre 3 et ces trois conditions initiales.

Le nombre 1,8393 est un arrondi, pas une valeur exacte de la constante de Tribonacci. La caractérisation exacte est : la racine réelle du polynôme x³ − x² − x − 1. Les deux autres racines sont complexes conjuguées ; leurs puissances contribuent aussi à la formule exacte, même si leur module inférieur à 1 rend cette contribution décroissante.

L'expression « nombre d'argent » peut désigner ici la constante de Tribonacci par analogie avec le nombre d'or. Pour éviter une ambiguïté de vocabulaire, le nom « constante de Tribonacci » et son polynôme caractéristique identifient le nombre sans équivoque.

La suite de Fibonacci permet de comparer une récurrence fondée sur deux termes à la mémoire de trois termes de Tribonacci.

Le polynôme caractéristique explique pourquoi les puissances de trois racines interviennent dans l'expression des termes.

Le nombre d'or offre un point de comparaison pour relier une suite récurrente à une constante de croissance.