nombre métal

Écrivez 0, 0, 1, puis fabriquez chaque nouveau terme en additionnant les trois précédents. Vous obtenez 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149… Les quotients de deux termes consécutifs se rapprochent d'une même valeur, environ 1,8393.

Dans la convention présentée ici, cette limite est le nombre d'argent, ou constante de Tribonacci. Le nombre d'or naît de la même idée avec deux termes précédents, et le nombre de bronze avec quatre. Un nombre métal relie ainsi une récurrence à la racine positive d'une équation.

Dans la famille décrite ici, on choisit un entier k au moins égal à 2. Une suite de k-bonacci est obtenue en calculant chaque terme comme la somme des k termes précédents. Le nombre métal de rang k est l'unique racine positive, notée α_k, de l'équation portant sur la variable réelle x :Cette équation s'écrit aussi $x^k-x^{k-1}-\cdots -x-1=0x^k-x^\{k-1\}-\backslash cdots-x-1=0$.

Au rang 2, l'équation est x² = x + 1 et sa racine positive est le nombre d'or. Au rang 3, certains auteurs parlent de nombre d'argent : la racine positive de x³ − x² − x − 1 = 0 est la constante de Tribonacci, environ 1,839286755. Au rang 4, la racine positive de x⁴ − x³ − x² − x − 1 = 0 vaut environ 1,92 ; la source la nomme nombre de bronze et signale aussi l'appellation nombre de cuivre pour ce rang.

Le nom métallique dépend donc de la convention d'appellation, tandis que le rang, la récurrence et l'équation identifient la constante sans ambiguïté. Lorsque les k termes initiaux sont non négatifs et ne sont pas tous nuls, la suite devient positive et les quotients de deux termes consécutifs tendent vers α_k.

Construisons une suite de Tribonacci et observons ses quotients. Le schéma associé rend visible le calcul d'un terme à partir des trois précédents.

Données :
termes initiaux : u₀ = 0, u₁ = 0 et u₂ = 1 ;
pour tout indice n au moins égal à 3, u_n est la somme des trois termes précédents ;
valeur de comparaison : α₃ ≈ 1,839286755.

1. Additionner chaque groupe de trois termes : la suite commence par 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149.
2. Calculer trois quotients consécutifs : 44 ÷ 24 ≈ 1,833333 ; 81 ÷ 44 ≈ 1,840909 ; 149 ÷ 81 ≈ 1,839506.
3. Constater que ces valeurs encadrent puis approchent 1,839286755.
4. Poser p(x) = x³ − x² − x − 1 et contrôler le changement de signe :

La racine positive est donc comprise entre 1,839 et 1,840, ce qui concorde avec la constante annoncée et avec le dernier quotient. Le contrôle se refait en vérifiant d'abord 24 + 44 + 81 = 149, puis en divisant 149 par 81.

Quand une suite additionne toujours ses k termes précédents, relevez d'abord le nombre k. Il détermine le degré de l'équation et évite d'associer une constante de Tribonacci à une récurrence de Fibonacci ou de Tetranacci.

Pour estimer la constante sans résoudre directement le polynôme, calculez plusieurs termes positifs puis leurs quotients successifs. Si une meilleure précision est nécessaire, préférez ensuite une résolution numérique de l'équation caractéristique et contrôlez le signe du polynôme de part et d'autre de la valeur obtenue.

Lorsque seul un nom de métal est donné, demandez aussi le rang ou l'équation. Ce critère observable lève les variations de vocabulaire, notamment entre les appellations bronze et cuivre signalées pour le rang 4.

Un terme de Fibonacci, de Tribonacci ou de Tetranacci appartient à une suite et dépend de son indice. Le nombre métal associé est une constante : dans l'exemple, 149 est un terme, tandis que 1,839286755 est une approximation de la constante de Tribonacci.

Le nombre d'or n'est pas toute la famille des nombres métaux. Le critère qui tranche est le rang de la récurrence : deux termes précédents conduisent au nombre d'or, trois à la constante de Tribonacci décrite ici.

Le vocabulaire métallique n'est pas uniforme. Le symptôme est un même métal associé à des équations différentes selon les textes. Il faut alors citer le rang k ou le polynôme plutôt que se fier au seul nom ; la source précise d'ailleurs « certains auteurs » pour le nombre d'argent.

Une valeur arrondie n'est pas la racine exacte. Écrire 1,92 pour le rang 4 ou 1,839286755 pour le rang 3 fournit une approximation. Pour vérifier une identité, il faut conserver l'équation ; pour un calcul numérique, il faut annoncer la précision utilisée.

Les termes initiaux peuvent produire un cas dégénéré. Une suite de k-bonacci entièrement initialisée par des zéros reste nulle, et le quotient de deux termes consécutifs y est indéfini. Pour observer la constante par des quotients, il faut choisir des données initiales non toutes nulles qui conduisent à des termes positifs.

Quelques quotients ne démontrent pas une limite. Les valeurs 1,833333, 1,840909 et 1,839506 rendent la convergence plausible, sans la prouver. La justification générale passe par l'étude de la récurrence et de son équation caractéristique.

Le glossaire nombre d'or approfondit le premier rang de la famille et son équation quadratique.

Le glossaire suite de Tribonacci développe la récurrence à trois termes dont les quotients conduisent à la constante étudiée.

La note de lecture Redécouvrir le classique de Fibonacci prolonge le contexte de la récurrence à deux termes.