suite de Viète

On part d’un nombre, puis on répète toujours le même geste : ajouter 1, diviser par 2 et prendre la racine carrée positive. Les nombres obtenus se rapprochent de 1. En les multipliant au fur et à mesure, on obtient des approximations liées à π.

Les facteurs sont aussi des cosinus d’angles divisés successivement par deux. Cette lecture explique l’apparition des racines emboîtées et transforme une identité trigonométrique en produit infini.

Dans la normalisation directement adaptée au produit, la suite de Viète est la suite de nombres positifs notés a_n. Son premier terme vaut √2/2 et chaque terme suivant est la racine carrée positive de la moyenne de 1 et du terme précédent : $a_1=\frac{\sqrt{2}}{2},a_{n+1}=\sqrt{\frac{1+a_n}{2}}a\_1=\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\},\backslash qquad\; a\_\{n+1\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{1+a\_n\}\{2\}\}$.

La formule du demi-angle donne a_n = cos(π/2ⁿ⁺¹). Le produit des n premiers termes, noté P_n, vérifie alors $P_n={\prod }_{k=1}^n{a}_k=\frac{1}{2^n\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2^{n+1}}\right)}P\_n=\backslash prod\_\{k=1\}^\{n\}a\_k=\backslash frac\{1\}\{2^n\backslash sin\backslash !\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2^\{n+1\}\}\backslash right)\}$. Lorsque n tend vers l’infini, P_n tend vers 2/π.

Une seconde normalisation emploie les radicaux r₁ = √2 et r_n+1 = √(2 + r_n) ; chaque facteur vaut alors r_n/2. La définition source mélange ces deux conventions : son terme v₁ = 2/√2 vaut √2, tandis que sa récurrence est celle des facteurs a_n. Ces deux écritures ne doivent pas être combinées sans conversion.

La construction comporte quatre éléments. Le terme initial a₁ = √2/2 fixe la normalisation. La récurrence produit a_n+1 à partir de a_n en choisissant la racine positive. L’identité du demi-angle relie chaque terme au cosinus d’un angle moitié du précédent. Enfin, le produit partiel P_n multiplie les n premiers facteurs.

Le choix initial et la récurrence déterminent toute la suite. La relation trigonométrique explique ensuite pourquoi ses produits partiels approchent 2/π. Les radicaux emboîtés décrivent les mêmes facteurs sous une autre écriture ; ils ne constituent pas une donnée supplémentaire. Ces éléments suffisent à calculer un nombre quelconque de facteurs et l’approximation de π qui en résulte.

Calculons quatre facteurs. Les données sont a₁ = √2/2, la récurrence par racine positive, le produit P_n des n premiers facteurs et l’approximation π_n = 2/P_n.

1. Le premier facteur vaut a₁ ≈ 0,70710678. Ainsi, P₁ ≈ 0,70710678 et π₁ ≈ 2,82842712.

2. La récurrence donne a₂ = √(2 + √2)/2 ≈ 0,92387953. On obtient P₂ ≈ 0,65328148, puis π₂ ≈ 3,06146746.

3. Les deux facteurs suivants valent a₃ ≈ 0,98078528 et a₄ ≈ 0,99518473. Les produits deviennent P₃ ≈ 0,64072886 et P₄ ≈ 0,63764358.

4. Le résultat à quatre facteurs est π₄ = 2/P₄ ≈ 3,13654849. Une représentation des quatre produits partiels montre leur rapprochement vers 2/π.

5. Pour contrôler le calcul, on utilise a₄ = cos(π/32) et l’identité exacte $P_4=\frac{1}{16\sin (\pi \mathrm{/}32)}P\_4=\backslash frac\{1\}\{16\backslash sin(\backslash pi/32)\}$. Elle redonne π₄ = 32 sin(π/32) ≈ 3,13654849.

Pour approcher π, on calcule les facteurs successifs, on tient leur produit à jour, puis on prend 2 divisé par ce produit. Chaque facteur supplémentaire améliore ici l’approximation ; pour obtenir directement une valeur décimale usuelle, une valeur préenregistrée de π évite ce calcul itératif.

Pour travailler une identité trigonométrique, on part de cos(x/2) = √((1 + cos x)/2) lorsque les angles considérés rendent le cosinus positif. La suite est alors préférable à un développement séparé de chaque racine, car elle conserve la même règle d’une étape à l’autre.

Pour vérifier une écriture en radicaux imbriqués, on repère sa normalisation. Si les radicaux commencent par √2 et suivent r_n+1 = √(2 + r_n), on divise chaque radical par 2 avant de former le produit.

La suite des facteurs et la suite des radicaux. Les facteurs commencent par √2/2 et tendent vers 1 ; les radicaux commencent par √2 et tendent vers 2. Dans le cadre de ces deux conventions, un terme initial supérieur à 1 indique la seconde normalisation et doit être divisé par 2 dans le produit.

La suite et ses produits partiels. Le terme a_n est un seul facteur, tandis que P_n multiplie tous les facteurs jusqu’au rang n. Par exemple, a₂ ≈ 0,92387953, mais P₂ ≈ 0,65328148.

Un produit infini et une racine infiniment imbriquée. L’identité de Viète porte sur le produit de facteurs distincts. Les racines imbriquées ne sont que la forme de ces facteurs ; prendre la limite d’un seul radical ne donne pas 2/π.

Normalisations incompatibles. Avec v₁ = 2/√2 = √2, la récurrence √((1 + v_n)/2) ne produit pas les facteurs affichés dans le produit de Viète. Il faut soit partir de √2/2 avec cette récurrence, soit garder √2 et employer r_n+1 = √(2 + r_n), puis diviser chaque terme par 2.

Troncature. Avec un nombre fini de facteurs, 2/P_n n’est qu’une approximation de π. Au rang 1, elle vaut environ 2,82842712 ; au rang 4, environ 3,13654849. Le signe ≈ reste donc nécessaire.

Signe de la racine. La formule cos(x/2) = √((1 + cos x)/2) suppose que cos(x/2) est positif. Pour les angles π/2ⁿ⁺¹ de cette suite, cette condition est satisfaite. Hors de ce domaine, la formule générale détermine d’abord la valeur absolue du cosinus et le signe doit être traité séparément.

Passage à l’infini. Le seul fait que a_n tende vers 1 ne suffit pas à identifier la limite du produit. Posons u_n = π/2ⁿ⁺¹ dans l’expression exacte de P_n. Comme 2ⁿ = π/(2u_n), on obtient P_n = (2/π) × u_n/sin(u_n). Or u_n tend vers 0 et sin(u_n)/u_n tend vers 1 : ainsi u_n/sin(u_n) tend vers 1, donc P_n tend vers 2/π.

Le cosinus d’un angle éclaire l’identité du demi-angle qui engendre tous les facteurs de la suite.

La fonction racine carrée aide à lire la récurrence et le choix systématique de la racine positive.

La notion d’infini replace le passage des produits partiels finis au produit infini dans un cadre plus large.