AlgèbreFormule · Glossaire
formule de Viète
Plusieurs résultats importants de l'algèbre et de l'analyse portent le nom de formule de Viète. (1) La première est une formule produit pour π, découverte par François Viète en 1593, qui constitue l'une des premières représentations analytiques de π sous forme de produit infini : 2/π = (√2 / 2) · (√(2+√2) / 2) · (√(2+√(2+√2)) / 2) · … (2) La seconde famille regroupe les formules reliant les racines et les coefficients d'un polynôme. Dans le cas d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0, ces formules expriment que la somme des racines est égale à −b/a et leur produit à c/a. Plus généralement, pour un polynôme de degré n, les fonctions symétriques élémentaires des racines sont liées aux coefficients du polynôme par des relations analogues, qui sont au fondement de la théorie des polynômes symétriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux résultats appelés formule de Viète.
- Relier la somme et le produit des racines aux coefficients d'un trinôme.
- Retrouver puis contrôler les racines 2 et 3 de x² − 5x + 6.
- Reconnaître les cas a = 0, racine double, racines complexes et produit infini tronqué.
En clair
Dans le trinôme x2 − 5x + 6, les nombres 2 et 3 se cachent derrière les coefficients : leur somme vaut 5 et leur produit 6. Les formules de Viète lisent précisément ce lien entre les racines d'un polynôme et ses coefficients.
Le même nom désigne aussi un autre résultat, découvert par François Viète en 1593 : une succession de facteurs contenant des racines carrées dont le produit infini vaut 2/π.
Définition
Les formules de Viète relient les racines d'un polynôme à ses coefficients. Pour un trinôme de coefficients a, b et c, avec a non nul, les deux racines x1 et x2 vérifient et . Les racines sont comptées avec leur multiplicité et peuvent être complexes.
Plus généralement, si un polynôme de degré n a pour coefficient dominant an et pour racines r1, …, rn, ses fonctions symétriques élémentaires se lisent dans ses coefficients. La somme des racines est l'opposé du coefficient de degré n − 1 divisé par an. Leur produit vaut le terme constant divisé par an, avec un signe qui dépend de n. Ces relations sont au fondement de la théorie des polynômes symétriques.
Une autre formule de Viète, découverte en 1593, représente 2/π par un produit infini de facteurs formés de racines carrées emboîtées. Elle appartient à l'analyse et ne doit pas être confondue avec les relations algébriques entre racines et coefficients.
Le principe
Si a, b et c sont les coefficients d'une équation ax2 + bx + c = 0, avec a non nul, et si x1 et x2 en sont les racines, alors :
Pour le produit infini de 1593, les facteurs successifs prolongent le même emboîtement de racines carrées :
Quand l'utiliser
Pour le second degré, il faut connaître les trois coefficients a, b et c et vérifier que a ≠ 0. Les deux racines doivent être considérées avec leur multiplicité. Si elles ne sont pas réelles, les mêmes relations restent valables parmi les nombres complexes.
Si a = 0, l'équation n'est plus du second degré : les quotients −b/a et c/a n'ont pas de sens, et il faut résoudre l'équation de degré inférieur. Pour la formule liée à π, une suite finie de facteurs ne donne qu'une valeur approchée ; l'égalité porte sur la limite du produit infini.
Un exemple, pas à pas
Données. On considère l'équation x2 − 5x + 6 = 0. Ses coefficients sont a = 1, b = −5 et c = 6. On cherche deux racines x1 et x2.
1. La somme attendue est .
2. Le produit attendu est .
3. Les nombres 2 et 3 conviennent, car 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6. Les racines proposées sont donc 2 et 3.
4. On contrôle directement : 22 − 5 × 2 + 6 = 0 et 32 − 5 × 3 + 6 = 0. Chacun des deux nombres annule bien le trinôme.
Le rapprochement entre coefficients, somme et produit fournit ainsi un contrôle complet, sans modifier les données de départ.
En pratique
Devant un trinôme à coefficients entiers, on cherche des nombres dont la somme et le produit correspondent aux relations de Viète. Pour x2 − 5x + 6, la paire 2 et 3 apparaît aussitôt. Si aucune paire simple ne convient, le calcul du discriminant est plus systématique.
Quand des racines ont déjà été calculées, leur somme et leur produit servent de contrôle. Une différence avec −b/a ou c/a signale une erreur de signe ou de calcul ; remplacer ce contrôle par une nouvelle résolution serait plus long.
Quand deux racines sont connues et que l'on cherche un trinôme unitaire, leur somme S et leur produit P conduisent à x2 − Sx + P. Pour les racines 2 et 3, on retrouve x2 − 5x + 6.
À ne pas confondre
Avec la formule quadratique. La formule quadratique calcule séparément les racines à partir du discriminant. Les relations de Viète imposent seulement leur somme et leur produit. Pour x2 − 5x + 6, Viète fait reconnaître 2 et 3 ; si aucune paire n'apparaît, la formule quadratique reste la méthode systématique.
Avec le produit infini de Viète. Ce produit emboîte des racines carrées et converge vers 2/π. Les relations algébriques, elles, associent les racines d'un polynôme à ses coefficients. Un calcul portant sur π relève du premier résultat ; une somme comme x1 + x2 = −b/a relève du second.
Limites et pièges
Coefficient dominant nul. Si a = 0, les divisions par a sont impossibles et l'équation n'est pas quadratique. Il faut d'abord reconnaître son degré réel, puis employer la méthode adaptée à ce degré.
Racines non réelles. L'absence de solution réelle ne rend pas les relations fausses. Pour x2 + 1, les racines complexes i et −i ont pour somme 0 et pour produit 1, conformément aux coefficients.
Racine double. Une racine répétée compte deux fois. Le polynôme (x − 2)2 a les racines 2 et 2 : leur somme vaut 4 et leur produit 4. N'en compter qu'une fausse les deux contrôles.
Produit tronqué. Après un nombre fini de facteurs du produit de 1593, le résultat n'est pas exactement 2/π. Il faut le présenter comme une approximation et réserver l'égalité exacte à la limite du produit infini.
Pour aller plus loin
Équation du second degré — Retrouvez le cadre complet dans lequel les relations x1 + x2 = −b/a et x1x2 = c/a s'appliquent.
La nouvelle algèbre de Monsieur Viète — Situez les formules dans un article consacré à l'œuvre algébrique de François Viète.
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