saut de Viète

En 1988, aux Olympiades internationales de mathématiques, une équation en nombres entiers résiste presque à tous les candidats : seuls 11 sur 300 obtiennent une solution complète. L'astuce consiste à regarder la même équation comme un trinôme dont on connaît une racine. Les formules de Viète livrent alors une seconde racine entière. Si elle correspond à une solution plus petite, on peut recommencer. Une hypothétique exception engendrerait ainsi une exception encore plus petite, en contradiction avec le choix de la plus petite. Ce passage d'une solution à l'autre est le « saut ».

Le saut de Viète est une technique de démonstration pour certaines équations diophantiennes, c'est-à-dire des équations dont on cherche les solutions entières. Elle s'applique lorsqu'une équation à deux inconnues peut être vue comme une équation du second degré en l'une d'elles et que les relations entre racines conservent le domaine étudié.

Dans sa forme standard, on raisonne par l'absurde. Parmi les solutions qui contrediraient la propriété visée, on choisit un couple d'entiers, noté (A, B), qui minimise une mesure bien ordonnée, souvent la somme A + B. En fixant B, on transforme l'équation en un polynôme du second degré dont A est une racine. Les formules de Viète donnent l'autre racine, notée A′. Il faut alors établir séparément que A′ est un entier admis, que (A′, B) satisfait encore l'équation et que la mesure a strictement diminué.

On obtient une contradiction avec la minimalité du couple choisi. Selon l'équation, le saut peut porter alternativement sur les deux inconnues ou utiliser une autre mesure que leur somme. Sans intégralité, maintien des conditions et décroissance stricte, l'autre racine existe peut-être algébriquement, mais la descente ne prouve rien.

On rencontre le saut de Viète dans un problème de théorie des nombres qui demande de prouver une propriété pour toutes les solutions entières d'une équation. Plusieurs indices le signalent : l'équation comporte deux inconnues de façon symétrique ou presque symétrique ; elle devient quadratique quand l'une est fixée ; une solution entière est déjà connue ; et la conclusion porte sur la divisibilité, la taille ou la forme de toutes les solutions. Le support essentiel est donc une équation polynomiale : ses coefficients encodent, grâce aux formules de Viète, une transformation d'une solution en une autre.

La grandeur à suivre est une mesure entière positive des solutions, par exemple la somme de leurs coordonnées. 1. Fixez une inconnue et ordonnez l'équation comme un trinôme en l'autre. 2. Identifiez la racine connue, puis calculez l'autre avec la somme ou le produit des racines. 3. Vérifiez l'intégralité, la positivité et toutes les conditions initiales. 4. Comparez les mesures et ne concluez à une descente que si la diminution est stricte.

Une convention doit rester explicite : avant chaque saut, on peut ordonner les deux coordonnées afin de transformer la plus grande. L'œil peut croire que toute seconde racine est automatiquement plus petite. C'est faux : le choix de la variable et les inégalités du problème déterminent le sens du saut. Le bon réflexe est de calculer la nouvelle racine, puis de prouver la diminution au lieu de la supposer.

Considérons les entiers positifs x et y qui vérifient l'équation suivante, et partons de la solution (2, 5).

Données. La première coordonnée vaut x = 2, la seconde y = 5, et le coefficient du produit xy vaut 3. Le contrôle initial donne 2² + 5² + 1 = 30 et 3 × 2 × 5 = 30.

1. En gardant x = 2, l'équation devient un trinôme en y : $y^2-6y+5=0y^2-6y+5=0$. Une racine est 5. Comme la somme des deux racines vaut 6, l'autre vaut 1. Le premier saut conduit donc à (2, 1).

2. Le couple (2, 1) vérifie encore l'équation : 2² + 1² + 1 = 6 et 3 × 2 × 1 = 6. En échangeant l'ordre des coordonnées, on obtient (1, 2), puis le même calcul donne l'autre racine 1. Le second saut mène à (1, 1).

3. Les sommes décroissent exactement de 7 à 3, puis de 3 à 2. Enfin, (1, 1) satisfait 1² + 1² + 1 = 3 × 1 × 1 = 3. La chaîne de solutions rend visibles les deux contrôles indispensables : l'équation reste vraie et la mesure diminue strictement.

Dans une épreuve d'olympiade, on teste cette méthode lorsqu'une équation entière à deux inconnues devient un trinôme du second degré après fixation de l'une d'elles. Le geste utile consiste à écrire les relations entre ses deux racines et à chercher une mesure qui puisse décroître.

Pendant la rédaction d'une preuve, le saut sert à transformer une exception supposée minimale. Si une factorisation directe ou un argument de congruence règle déjà le problème, cette voie est plus courte. Le saut devient préférable lorsque l'autre racine reste dans le même ensemble et fournit une diminution démontrable.

Pour contrôler une tentative, on tient un bilan après chaque transformation : l'équation est-elle préservée, les nouvelles valeurs sont-elles entières et positives, et la mesure baisse-t-elle vraiment ? L'échec d'un seul de ces tests impose de changer de variable, de mesure ou de méthode.

Les formules de Viète. Elles relient directement coefficients et racines d'un polynôme. Le saut de Viète les emploie dans une preuve de descente. Calculer la seconde racine de y² − 6y + 5 suffit à appliquer les formules ; montrer que (2, 5) mène à une solution plus petite réalise le saut.

La descente infinie. C'est le cadre logique général qui interdit une suite strictement décroissante d'entiers positifs. Le critère distinctif est le moteur de la transformation : lorsqu'une autre racine obtenue par les formules de Viète produit l'étape suivante, la descente prend la forme particulière d'un saut de Viète.

Le raisonnement par récurrence. Une récurrence part d'un cas initial puis construit les cas de rang supérieur. Le saut standard suppose au contraire une exception minimale et en fabrique une plus petite. Le sens de l'argument permet donc de trancher.

Une racine hors du domaine. Si la seconde racine n'est pas entière, positive ou conforme aux hypothèses, elle ne fournit pas une nouvelle solution admissible. Il faut démontrer ces propriétés à partir de l'équation avant de poursuivre.

Une mesure qui ne baisse pas. Une égalité de mesures ou une diminution seulement supposée ne contredit aucune minimalité. Dans l'exemple, les seuils décisifs sont stricts : 7 devient 3, puis 3 devient 2. Si la valeur reste identique, il faut choisir une autre variable ou une autre mesure.

Le mauvais sens du saut. À partir de (2, 5), traiter le trinôme en x donne comme autre racine 13 : la somme augmente de 7 à 18. Il faut transformer la coordonnée appropriée, souvent la plus grande après les avoir ordonnées, puis justifier ce choix par des inégalités.

Une fausse quadratique. Si le coefficient du terme de degré deux s'annule pour la valeur fixée, les relations prévues entre deux racines ne s'appliquent plus sous la même forme. Ce cas dégénéré doit être isolé et traité directement.

Formule de Viète — Pour retrouver précisément les relations entre les coefficients d'un trinôme et ses deux racines.

Méthode de descente infinie — Pour replacer le saut dans le principe général d'une contradiction obtenue par diminutions successives.

Raisonnement par l'absurde — Pour approfondir la structure logique qui transforme l'existence supposée d'une exception en contradiction.