AlgèbreNotion · Glossaire
Discriminant réduit
Le discriminant réduit d'un polynôme du second degré ax² + bx + c est la quantité b'² - ac, où b = 2b'. Il est utilisé lorsque le coefficient du terme en x est pair, simplifiant les formules des racines : celles-ci valent alors (-b' ± racine(b'² - ac)) / a. Cette variante permet d'éviter les facteurs 2 inutiles dans les calculs. Le signe du discriminant réduit détermine le nombre de racines réelles, exactement comme pour le discriminant standard.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir Δ′ à partir du demi-coefficient b′.
- Déduire du signe de Δ′ le nombre de racines réelles.
- Calculer et contrôler les racines −3 et 1 d'un exemple complet.
- Distinguer le discriminant réduit du discriminant standard.
En clair
Dans le trinôme 2x² + 4x − 6, le nombre placé devant x est 4, donc son demi vaut 2. Le discriminant réduit utilise directement ce demi-coefficient : le calcul devient 2² − 2 × (−6), soit 16.
Ce raccourci allège la recherche des solutions sans changer le verdict. Un résultat positif annonce deux racines réelles, un résultat nul une racine double, et un résultat négatif aucune racine réelle.
Définition
On considère un trinôme du second degré dont le coefficient de x² est le nombre a, celui de x est le nombre b et le terme constant est le nombre c, avec a non nul. Lorsque b s'écrit 2b′, le nombre b′ est le demi-coefficient de x. Le discriminant réduit, noté Δ′, est défini par :
Si Δ′ est positif, les deux racines réelles sont et . Si Δ′ est nul, ces deux valeurs coïncident en −b′/a. Si Δ′ est négatif, le trinôme n'a pas de racine réelle. Le discriminant standard Δ vaut 4Δ′ : les deux discriminants ont donc le même signe. Sur des coefficients réels, on peut toujours poser b′ = b/2 ; l'intérêt calculatoire est surtout net lorsque les coefficients sont entiers et b pair.
Un exemple, pas à pas
Résolvons l'équation 2x² + 4x − 6 = 0. Les données sont le coefficient a = 2, le coefficient b = 4 et le terme constant c = −6. Comme b = 2b′, le demi-coefficient vaut b′ = 2.
1. Calculer le discriminant réduit : .
2. Constater que 16 est positif : l'équation possède deux racines réelles.
3. Appliquer la formule réduite : et .
2. Constater que 16 est positif : l'équation possède deux racines réelles.
3. Appliquer la formule réduite : et .
Les solutions exactes sont donc −3 et 1. Un contrôle direct les confirme : pour x = −3, 2 × 9 + 4 × (−3) − 6 = 0 ; pour x = 1, 2 + 4 − 6 = 0. La courbe associée coupe ainsi l'axe horizontal aux abscisses −3 et 1.
En pratique
Pour résoudre un trinôme à coefficients entiers, on observe d'abord le coefficient de x. S'il est pair, le discriminant réduit évite de transporter plusieurs facteurs 2 dans le calcul des racines.
Pour prévoir le nombre d'intersections de la parabole avec l'axe horizontal, le signe de Δ′ suffit. Dans l'exemple 2x² + 4x − 6, la valeur 16 positive correspond aux deux intersections d'abscisses −3 et 1.
Si le coefficient de x n'est pas pair parmi les entiers, le discriminant standard garde souvent des calculs plus lisibles. On peut toujours diviser b par 2 sur les réels, mais le raccourci peut alors introduire des fractions trop tôt.
À ne pas confondre
Discriminant standard. Il se calcule par , tandis que le discriminant réduit emploie b′ = b/2 et vaut b′² − ac. Pour 2x² + 4x − 6, on obtient Δ = 64 mais Δ′ = 16. Les valeurs diffèrent d'un facteur 4, tout en donnant le même nombre de racines réelles.
Racine carrée du discriminant réduit. Δ′ et √Δ′ ne jouent pas le même rôle. Dans l'exemple, Δ′ vaut 16, tandis que sa racine carrée vaut 4 ; c'est 4 qui intervient au numérateur de la formule des racines.
Limites et pièges
Coefficient dominant nul. Si a = 0, l'expression n'est plus du second degré. Le symptôme est une division par zéro dans la formule ; il faut résoudre l'équation devenue linéaire, ou examiner séparément le cas constant.
Parité hors des entiers. Dire que b est pair n'a de sens usuel que pour un entier. Avec des coefficients réels, on définit toujours b′ = b/2, mais il faut juger si cette écriture simplifie réellement les calculs.
Cas charnière. Lorsque Δ′ = 0, les signes ± ne produisent pas deux racines distinctes : ils donnent tous deux −b′/a. Il faut annoncer une racine réelle double, et non deux solutions différentes.
Discriminant réduit négatif. L'absence de racine concerne les nombres réels. Si l'on travaille dans les nombres complexes, deux racines existent encore et font intervenir la racine carrée d'un nombre négatif.
Pour aller plus loin
Équation du second degré. Retrouvez le cadre complet dans lequel le discriminant réduit sert à déterminer les solutions.
Trinôme du second degré. Reliez les coefficients a, b et c à l'expression algébrique et à sa courbe.
Forme canonique. Observez une autre écriture du trinôme, utile pour lire son sommet et ses variations.
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