méthode de Descartes - équation algébrique -

Une équation du quatrième degré paraît difficile tant qu’elle forme un seul bloc. L’idée de Descartes est de chercher deux expressions du second degré dont le produit redonne exactement le polynôme initial.

On développe le produit proposé, puis on compare les coefficients terme à terme. Quand ils coïncident, le problème se sépare en deux équations quadratiques, plus familières. La factorisation n’est donc pas une approximation : sa validité se contrôle en redéveloppant le produit.

La méthode de Descartes est une procédure de factorisation. Pour un polynôme P appartenant à K[x] et un nombre α appartenant à K, le critère de divisibilité affirme que P(α) = 0 exactement lorsque x − α est un facteur de P dans K[x]. Trouver une racine dans K fournit donc un facteur linéaire dans K[x] ; réciproquement, tout facteur linéaire dans K[x] donne une racine dans K.

Pour une équation quartique sans terme cubique, les lettres p, q et r désignent les coefficients dans x⁴ + px² + qx + r = 0. On cherche quatre nombres a, b, c et d tels que le membre de gauche soit le produit (x² + ax + b)(x² + cx + d). Le développement impose l’égalité des coefficients de x³, x², x et du terme constant. Une fois a, b, c et d déterminés, le produit est nul si l’un des deux facteurs quadratiques est nul. La résolution de la quartique est ainsi ramenée à deux équations du second degré.

Soit une équation x⁴ + px² + qx + r = 0, où p, q et r sont connus. Si l’on trouve des nombres a, b, c et d qui satisfont le système suivant, alors son membre de gauche se factorise en (x² + ax + b)(x² + cx + d).

Le point d’arrêt est l’obtention de deux facteurs vérifiés par développement ; il reste alors à résoudre séparément les deux équations quadratiques.

La forme proposée s’applique directement à x⁴ + px² + qx + r, un polynôme unitaire de degré quatre dont le coefficient de x³ est nul. Les lettres p, q et r sont les coefficients connus ; a, b, c et d sont ceux des deux facteurs cherchés. Ces derniers doivent appartenir au domaine de nombres dans lequel on veut factoriser.

Le coefficient cubique fournit la condition vérifiable a + c = 0. Ainsi, x⁴ + x³ + 1 ne peut pas être représenté par cette factorisation spécialisée où c = −a : ce produit aurait un coefficient cubique nul. Il faut alors autoriser a + c = 1 dans une factorisation plus générale, ou employer une autre procédure adaptée à la quartique donnée.

On veut résoudre x⁴ − 6x² − x + 6 = 0. Les données sont p = −6, q = −1 et r = 6 ; le coefficient de x³ est nul. On cherche deux facteurs quadratiques de coefficients réels.

1. De a + c = 0, on tire c = −a. Comme bd = 6, on peut tester les couples de diviseurs entiers de 6 : b = −2 et d = −3 donnent d − b = −1. L’égalité ad + bc = a(d − b) = −1 impose alors a = 1, puis c = −1.

2. Avec b = −2 et d = −3, on vérifie ac + b + d = −1 − 2 − 3 = −6, ad + bc = −3 + 2 = −1 et bd = 6.

3. L’identification donne donc la factorisation exacte suivante : $x^4-6x^2-x+6=(x^2+x-2)(x^2-x-3)x^4-6x^2-x+6=(x^2+x-2)(x^2-x-3)$.

4. Le premier facteur vaut (x − 1)(x + 2). Le second a pour discriminant 13. Les quatre solutions sont donc −2, 1, (1 − √13)/2 et (1 + √13)/2.

Le contrôle consiste à redévelopper les deux facteurs : les coefficients obtenus sont bien 1, 0, −6, −1 et 6, dans l’ordre décroissant des puissances.

Lorsqu’une valeur α semble annuler un polynôme nommé P, on calcule P(α). Si le résultat est exactement nul, le facteur x − α est acquis ; sinon, il faut abandonner ce candidat plutôt que forcer une division.

Pour une quartique sans terme cubique, on écrit les deux facteurs quadratiques et on identifie les coefficients. Cette voie est préférable à une recherche numérique lorsque l’on souhaite une factorisation exacte et que le système obtenu se résout explicitement.

Avant de résoudre les deux quadratiques, on redéveloppe toujours le produit. Ce contrôle détecte immédiatement un signe erroné ; si un coefficient diffère, on reprend l’identification au lieu de conserver des racines issues de mauvais facteurs.

Avec la règle des signes de Descartes. Pour un polynôme P appartenant à K[x] et un nombre α appartenant à K, le critère P(α) = 0 teste cette valeur et établit le facteur x − α dans K[x]. La règle des signes, elle, borne le nombre de racines positives possibles à partir des changements de signe ; elle ne fournit pas à elle seule la factorisation.

Avec une équation bicarrée au sens strict. Une bicarrée s’écrit x⁴ + px² + r = 0 et se traite aussi par le changement y = x². Dès que q ≠ 0, comme dans x⁴ − 6x² − x + 6 = 0, ce changement laisse un terme en x : la factorisation en quadratiques répond à un problème plus général.

Zéro approché. Une valeur numérique donnant P(α) ≈ 0 ne prouve pas que x − α divise exactement P. Le symptôme est un petit reste non nul ; il faut conserver l’approximation comme telle ou refaire le calcul en arithmétique exacte.

Branche q = 0. Dans le produit (x² + ax + b)(x² + cx + d), l’absence de terme cubique impose c = −a et le coefficient linéaire vérifie a(d − b) = q. Si q vaut zéro, diviser aussitôt par a ou par d − b élimine les cas a = 0 ou b = d. Il faut examiner ces branches séparément.

Domaine des racines. Une factorisation en quadratiques réels n’assure pas quatre racines réelles. Un facteur de discriminant négatif n’en fournit aucune dans les réels ; il faut annoncer le domaine choisi ou poursuivre dans les nombres complexes.

Système d’identification difficile. La méthode réduit le degré des facteurs à résoudre, mais la recherche de a, b, c et d forme elle-même un système non linéaire. Si aucun choix exact ne se dégage, la méthode n’autorise ni coefficients devinés ni égalités approchées présentées comme exactes.

Équation quartique — Situer la forme générale du quatrième degré et les difficultés propres à sa résolution.

Factorisation — Revoir le passage d’une somme à un produit et le contrôle par développement.

Équation du second degré — Résoudre les deux facteurs obtenus et interpréter leur discriminant.