Histoire et cultureMéthode · Glossaire
méthode de Tartaglia
La méthode de Tartaglia calcule algébriquement une solution réelle d’une équation cubique réduite x³ + px = q : le coefficient de x³ vaut 1 et le terme en x² est absent. Elle ramène cette recherche à deux racines cubiques à additionner, sans fournir nécessairement toutes les racines ; pour que cette écriture reste entièrement réelle, la quantité sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la forme réduite x³ + px = q.
- Appliquer la formule à x³ + 6x = 20 et contrôler la solution x = 2.
- Distinguer la méthode de Tartaglia des formules générales de Cardan.
- Repérer le cas où le calcul intermédiaire quitte les nombres réels.
En clair
Au XVIe siècle, le problème attribué à Tartaglia demande de trouver un nombre inconnu. Son cube, augmenté de plusieurs fois ce même nombre, doit donner un nombre fixé. En langage actuel, si ce nombre vaut x, on cherche x dans une égalité comme x³ + 6x = 20. La méthode transforme cette recherche en deux calculs de racines cubiques, puis additionne les résultats.
Définition
La méthode de Tartaglia permet de calculer directement une solution réelle d’une équation cubique réduite, donc privée de terme au carré. L’inconnue est notée x ; les nombres connus sont notés p et q. L’équation s’écrit .
On pose x = u + v et l’on choisit les deux nombres u et v de sorte que leur produit compense le terme en x. Leurs cubes sont alors les solutions d’une équation du second degré. Pour des nombres réels p et q, la formule obtenue est :
Les racines cubiques réelles donnent directement une solution réelle lorsque la quantité sous la racine carrée est positive ou nulle, mais pas nécessairement toutes les racines de l’équation. Une équation cubique complète comportant un terme en x² doit d’abord être ramenée à la forme réduite ; cette généralisation est traditionnellement associée aux formules de Cardan.
Le principe
Pour calculer directement une solution réelle de , on calcule d’abord la quantité . Si Δ est positive ou nulle, on calcule les deux racines cubiques réelles et , puis on arrête le calcul avec x = u + v. La substitution de x dans l’équation initiale contrôle le résultat ; la recherche de toutes les racines éventuelles demande de compléter cette procédure.
Quand l'utiliser
La procédure directe s’applique à une équation de degré trois dont le coefficient de x³ vaut 1 et qui ne contient aucun terme en x². Les nombres p et q doivent être connus. Pour rester entièrement dans les nombres réels avec la formule donnée, la quantité doit être positive ou nulle.
Par exemple, x³ − 3x = 0 est bien réduite, mais Δ = −1. La racine carrée réelle exigée par cette écriture n’existe pas, alors que l’équation possède les trois solutions réelles −√3, 0 et √3. Il faut alors accepter des calculs intermédiaires complexes ou employer une autre représentation. Si un terme en x² subsiste, on commence par un changement d’inconnue qui supprime ce terme.
Un exemple, pas à pas
On cherche le nombre x tel que x³ + 6x = 20. Les données sont p = 6 et q = 20. L’équation est déjà sous la forme requise : elle n’a aucun terme en x² et son coefficient dominant vaut 1.
Étape 1. On calcule .
Étape 2. Les deux cubes à considérer sont et .
Étape 3. Comme et , on obtient u = 1 + √3 et v = 1 − √3.
Étape 4. Leur somme vaut x = u + v = 2. Le contrôle est immédiat : 2³ + 6 × 2 = 8 + 12 = 20. La solution calculée satisfait donc bien l’équation de départ.
En pratique
Devant une équation cubique, le premier geste consiste à regarder si un terme en x² apparaît. S’il est absent et si le coefficient de x³ vaut 1, les nombres p et q se lisent directement et la procédure peut commencer.
Si un terme en x² apparaît, on ne remplace pas simplement ses coefficients dans la formule réduite. Un changement d’inconnue doit d’abord supprimer ce terme, ce qui conduit au cadre plus général des formules de Cardan.
Après le calcul, la substitution reste le contrôle le plus sûr. Dans l’exemple conducteur, remplacer x par 2 rend les deux membres égaux à 20 et détecterait immédiatement une erreur de signe.
À ne pas confondre
La méthode de Tartaglia ne se confond pas avec l’ensemble des formules de Cardan. La première vise la forme réduite x³ + px = q ; les secondes couvrent aussi une équation cubique complète après suppression du terme en x². Ainsi, ax³ + bx² + cx + d = 0 avec b non nul ne relève pas immédiatement de la procédure réduite.
Elle ne se confond pas non plus avec le triangle de Tartaglia. Un test suffit : ici, l’objet à résoudre est une équation de degré trois, et non un arrangement triangulaire de nombres.
Limites et pièges
Lorsque est négative, la formule rencontre une racine carrée d’un nombre négatif. Ce blocage des calculs réels ne signifie pas que l’équation n’a pas de solution réelle : x³ − 3x = 0 en possède trois. Pour obtenir ces trois racines, il faut élargir les calculs aux nombres complexes ou changer de représentation.
Au cas charnière Δ = 0, les deux racines cubiques se calculent encore et le résultat x = u + v reste valide, mais il ne donne pas toujours toutes les racines distinctes. Si p et q ne sont pas tous deux nuls, l’équation possède aussi une seconde racine réelle, qui est double ; si p = q = 0, la racine 0 est triple.
Un autre piège consiste à appliquer la formule réduite à une équation qui contient encore un terme en x² ou dont le coefficient dominant n’a pas été normalisé. On ramène d’abord l’équation à la forme x³ + px = q, puis on identifie p et q.
Pour aller plus loin
La fiche Cardan Jérôme replace la généralisation des équations cubiques et la querelle avec Tartaglia dans leur contexte historique.
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