Tartaglia Nicolo Fontana

En 1512, à Brescia, Nicolo Fontana est blessé à la mâchoire lors de la prise de la ville par Gaston de Foix. Son père est tué pendant le massacre. Le défaut d’élocution qui suit lui vaut le surnom de « Tartaglia », celui qui bégaie en italien.

Autodidacte issu d’une famille modeste, il devient pourtant enseignant à Vérone puis à Venise. Son apport décisif concerne les équations cubiques : il trouve une manière générale de résoudre la forme x³ + px = q.

Nicolo Fontana, dit Tartaglia, est un mathématicien italien de la Renaissance, né dans la République de Venise vers 1499 et mort en 1557. Autodidacte, il enseigne à Vérone puis à Venise. Son nom reste attaché à une méthode générale de résolution d’une famille d’équations du troisième degré.

Dans l’écriture x³ + px = q, la lettre x désigne l’inconnue, tandis que p et q désignent des coefficients donnés. Cette forme ne représente pas à elle seule toute équation cubique complète. La généralisation au cas complet est associée, dans la source, à l’Ars Magna publiée par Gerolamo Cardano en 1545.

La transmission de la méthode déclenche un conflit de priorité : Tartaglia l’aurait communiquée confidentiellement, puis Cardano l’aurait utilisée pour la publier et l’étendre. Le conditionnel est important, car la source formule ainsi cette attribution. À la Renaissance, les coefficients négatifs n’étant pas encore admis, les algébristes séparaient des cas que l’écriture algébrique moderne rassemble plus facilement.

Prenons l’équation x³ + 6x = 7. L’inconnue est x, le coefficient p vaut 6 et le coefficient q vaut 7. Ici, la quantité q²/4 + p³/27 est positive. Une écriture moderne de la résolution peut donc utiliser les racines cubiques réelles :

1. On calcule q/2 = 7/2.
2. Sous la racine carrée, q²/4 + p³/27 = 49/4 + 216/27 = 81/4.
3. La racine carrée de 81/4 vaut 9/2.
4. Les deux radicandes cubiques valent donc 7/2 + 9/2 = 8 et 7/2 − 9/2 = −1.
5. On obtient x = ∛8 + ∛(−1) = 2 − 1 = 1.

Le contrôle est direct : 1³ + 6 × 1 = 7. Le graphe associé rend visible l’intersection unique, pour cet exemple, entre la courbe y = x³ + 6x et la droite y = 7.

Devant une équation comme x³ + 6x = 7, on repère d’abord la forme x³ + px = q. Les coefficients p = 6 et q = 7 permettent alors d’appliquer la résolution correspondant à cette forme.

Si l’équation comporte d’autres termes et relève du cas cubique complet, la seule forme étudiée par Tartaglia ne suffit plus. Le critère observable est la présence d’un terme supplémentaire, notamment en x² ; il faut alors traiter le cas complet.

Dans un récit historique, on sépare la découverte d’une méthode, sa communication et sa publication. Cette distinction évite d’attribuer automatiquement à Cardano la découverte associée à Tartaglia, ou à Tartaglia la généralisation publiée dans l’Ars Magna.

Tartaglia et Cardano. Tartaglia est associé à la méthode pour x³ + px = q ; Cardano est associé à sa publication dans l’Ars Magna de 1545 et à sa généralisation au cas complet. Le critère qui tranche est donc le rôle considéré : découverte, publication ou généralisation.

La forme x³ + px = q et l’équation cubique complète. La première ne contient pas de terme en x². Une équation qui en comporte un ne relève pas directement de cette forme particulière, même si son degré reste trois.

Une forme particulière, pas toutes les cubiques. Voir x³ ne suffit pas pour appliquer immédiatement la méthode décrite. Si un terme en x² est présent, l’équation n’est pas encore sous la forme x³ + px = q ; il faut traiter le cas complet.

Des signes historiquement séparés. L’écriture moderne autorise p ou q à être négatifs. Les algébristes de la Renaissance ne reconnaissaient pas encore les coefficients négatifs, ce qui les obligeait à distinguer plusieurs cas au lieu d’employer une formule unique sans précaution.

Une attribution à formuler avec prudence. La source indique que Cardano « aurait utilisé » les méthodes confiées par Tartaglia. Transformer ce conditionnel en certitude effacerait la nuance documentaire ; il faut conserver la formulation prudente.

Le radical carré peut devenir négatif. Si q²/4 + p³/27 est inférieur à zéro, la formule affichée dans l’exemple ne se lit plus uniquement avec des nombres réels. Il faut alors passer par les nombres complexes ou employer une autre résolution réelle.

Le glossaire cubique prolonge cette biographie par la notion algébrique elle-même et aide à reconnaître ce qui caractérise une équation de degré trois.

On peut ensuite comparer la forme x³ + px = q au cas complet évoqué par la source. Cette comparaison montre pourquoi les conventions sur les signes et la forme de l’équation comptaient dans les méthodes de la Renaissance.