cubique

Tracez une courbe à partir d'une équation où les coordonnées interviennent jusqu'au troisième degré : vous obtenez une cubique plane. Elle peut former une boucle, présenter deux morceaux séparés ou se croiser elle-même. Ces silhouettes différentes viennent de la même contrainte algébrique : le degré total le plus élevé de l'équation vaut trois.

Le mot « cubique » décrit donc le degré de l'équation, et non une forme unique. Dans l'espace, une cubique gauche quitte le plan ; dans le plan, la présence ou l'absence d'un point singulier sépare notamment les cas rationnels des cas elliptiques.

Une cubique est une courbe algébrique définie par une équation polynomiale de degré total trois. Une cubique plane vit dans un plan. Une cubique gauche est plongée dans l'espace ; dans le cadre donné ici, elle est l'intersection de deux quadriques réglées ayant une droite commune. Un plan la rencontre en trois points, comptés avec leurs multiplicités et éventuellement complexes.

Pour une cubique plane écrite sous la forme y² = 4x³ + px + q, les lettres p et q désignent des nombres réels. En posant $\mathrm{\Delta }=-16(p^3+27q^2)\backslash Delta=-16(p^3+27q^2)$, la condition de non-singularité est $p^3+27q^2\mathrm{\ne }0p^3+27q^2\backslash neq\; 0$. Sa complétion projective lisse est alors une courbe elliptique ; sa partie réelle possède deux composantes si $\mathrm{\Delta }>0\backslash Delta>0$, et une si . Si la courbe possède un point singulier, elle appartient à la classe rationnelle évoquée par la source. Elle admet alors une paramétrisation par un nombre t : $x=P(t)\mathrm{/}R(t),y=Q(t)\mathrm{/}R(t)x=P(t)/R(t),\backslash \; y=Q(t)/R(t)$, où les polynômes P, Q et R ont un degré au plus égal à trois et où R(t) n'est pas nul.

Newton recensa 78 espèces de cubiques planes en 1710, puis Plücker en dénombra 219 en 1835. Le résultat appelé théorème de Newton sur les cubiques relie projectivement ces courbes à une « parabole divergente » d'équation y² = P(x), avec P de degré trois.

Étudions la cubique plane d'équation y² = 4x³ − 4x. Elle est de la forme y² = 4x³ + px + q, avec p = −4 et q = 0.

1. Le plus haut degré est trois : la courbe est bien une cubique.
2. Calculons le critère : p³ + 27q² = (−4)³ + 27 × 0² = −64.
3. Comme −64 ≠ 0, la cubique n'a aucun point singulier : elle est elliptique.
4. Pour y = 0, l'équation devient 4x(x − 1)(x + 1) = 0. La courbe passe donc exactement par (−1 ; 0), (0 ; 0) et (1 ; 0).

Le tracé montre une composante fermée entre x = −1 et x = 0, puis une composante non bornée à partir de x = 1. Le contrôle est refaisable : en remplaçant x par chacun des trois nombres −1, 0 et 1, le membre de droite vaut bien zéro.

Pour reconnaître une cubique plane donnée par une équation polynomiale, on cherche le degré total maximal. Dans l'exemple y² = 4x³ − 4x, le terme x³ impose le degré trois ; une conique serait de degré deux.

Pour choisir entre le modèle elliptique et le cas rationnel, on recherche un point singulier. Dans la forme y² = 4x³ + px + q, le calcul de p³ + 27q² donne un test direct : une valeur non nulle écarte tout point singulier.

Pour esquisser la courbe, on commence par les intersections avec les axes et les zones où le membre de droite est positif. Ici, les abscisses −1, 0 et 1 donnent y = 0 ; l'étude du signe révèle les deux composantes réelles.

Une fonction cubique est une fonction polynomiale d'une variable dont le degré vaut trois, par exemple y = x³. Son graphe est une cubique particulière, mais une cubique plane générale, telle que y² = 4x³ − 4x, n'est pas nécessairement le graphe d'une fonction de x : une même abscisse peut donner deux ordonnées.

La racine cubique est une opération sur les nombres : la racine cubique de 8 vaut 2 parce que 2³ = 8. Elle ne désigne pas une courbe de degré trois.

Une spline cubique assemble plusieurs morceaux polynomiaux de degré au plus trois avec des conditions de raccordement. Une cubique est au contraire définie globalement par une équation algébrique de degré trois ; le nombre de morceaux tranche entre les deux objets.

Le mot « degré » signifie ici degré total de l'équation après mise sous forme polynomiale. Une écriture qui contient x³ peut néanmoins se simplifier ; il faut donc réduire l'équation avant de classer la courbe.

Le seuil p³ + 27q² = 0 est un cas charnière. La forme y² = 4x³ + px + q possède alors un point singulier et n'est plus une cubique elliptique non singulière ; il faut l'étudier comme une cubique rationnelle dégénérée.

Dire qu'un plan coupe une cubique gauche en trois points exige de compter les multiplicités et les points complexes. Sur un dessin réel, on peut voir moins de trois points distincts parce que certains sont confondus ou non réels.

Dans une paramétrisation rationnelle, les valeurs de t qui annulent R(t) sont exclues de l'écriture x = P(t)/R(t), y = Q(t)/R(t). Il faut examiner séparément les points éventuellement atteints par passage à la limite.

La notion de courbe algébrique replace le degré trois dans la famille plus générale des courbes définies par des polynômes.

La fiche courbe elliptique approfondit le cas non singulier illustré par y² = 4x³ − 4x.

L'entrée Point singulier précise le critère géométrique qui sépare ici les cubiques elliptiques des cubiques rationnelles.

La géométrie projective donne le cadre dans lequel le théorème de Newton rapproche les différentes cubiques planes.