courbe unicursale

Imaginez un point qui se déplace tandis qu'un curseur prend successivement des valeurs. Deux règles calculent ses coordonnées à partir de ce même curseur. Si ces règles sont des fractions de polynômes, le trajet obtenu est une courbe unicursale.

Le mot évoque un tracé d'un seul trait, mais l'image affine peut comporter des coupures ou des branches séparées par des asymptotes. Le paramétrage projectif permet de suivre les passages correspondants en ajoutant au plan ordinaire les directions à l'infini.

Une courbe unicursale, ou courbe rationnelle, est une courbe algébrique décrite par un paramètre au moyen de fonctions rationnelles. Le paramètre est noté t. Trois polynômes en t, nommés P, Q et R, donnent les coordonnées affines x et y : $x=\frac{P(t)}{R(t)},y=\frac{Q(t)}{R(t)}x=\backslash frac\{P(t)\}\{R(t)\},\backslash qquad\; y=\backslash frac\{Q(t)\}\{R(t)\}$. Ces coordonnées sont définies pour les valeurs de t telles que R(t) ≠ 0.

Dans le plan projectif, la même description s'écrit avec les coordonnées homogènes [P(t) : Q(t) : R(t)]. Les zéros réels de R peuvent alors représenter des points à l'infini plutôt qu'une fin de la courbe. Les trois polynômes ne doivent pas s'annuler simultanément pour la valeur considérée, faute de quoi la paramétrisation n'y définit aucun point.

La paramétrisation est propre lorsque, en dehors d'un nombre fini d'exceptions liées notamment aux points multiples, un point correspond à une seule valeur du paramètre. Toute courbe unicursale est algébrique. L'inverse est faux : une courbe algébrique de genre supérieur à zéro n'admet pas de paramétrisation rationnelle.

On rencontre une courbe unicursale dans un tracé paramétré, un exercice d'élimination du paramètre ou l'étude projective d'une courbe algébrique. Plusieurs indices la signalent : les coordonnées x et y dépendent du même paramètre t ; elles apparaissent comme des quotients de polynômes ; un dénominateur commun peut s'annuler ; le dessin peut posséder une asymptote ou un point multiple.

Cette représentation encode un parcours de la courbe. Elle indique quels points sont atteints pour chaque valeur admissible de t, dans quel ordre ils le sont et quelles directions à l'infini apparaissent lorsque le cadre projectif est pris en compte.

La donnée à lire est la position du point de coordonnées (x, y) pour une valeur de t. Le cercle unité fournit un repère visuel : $x(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2},y(t)=\frac{2t}{1+t^2}x(t)=\backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\},\backslash qquad\; y(t)=\backslash frac\{2t\}\{1+t^2\}$.

1. On repère d'abord les valeurs interdites par le dénominateur. Ici, 1 + t² reste strictement positif pour tout réel t.

2. On calcule ensuite les deux coordonnées avec la même valeur de t, puis on place le point dans le repère.

3. On contrôle l'équation de la courbe : ici, $x(t{)}^2+y(t{)}^2=1x(t)^2+y(t)^2=1$. Enfin, on examine la valeur projective t = ∞. L'œil pourrait croire que le point (−1, 0) manque ; il est seulement atteint à l'infini du paramètre, comme le rend visible la figure.

On paramètre le cercle unité avec un réel t. Les données sont $x(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2}x(t)=\backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\}$, $y(t)=\frac{2t}{1+t^2}y(t)=\backslash frac\{2t\}\{1+t^2\}$ et la valeur choisie t = 1.

1. Le dénominateur vaut 1 + 1² = 2 ; il n'est pas nul.

2. La première coordonnée vaut x(1) = (1 − 1²)/2 = 0.

3. La seconde coordonnée vaut y(1) = (2 × 1)/2 = 1. Le point obtenu est donc (0, 1).

4. Le contrôle donne 0² + 1² = 1 : le point appartient bien au cercle unité. Pour t = 0, on trouve (1, 0). Lorsque t tend vers l'infini, x(t) tend vers −1 et y(t) vers 0 ; le point (−1, 0) complète le cercle dans le paramétrage projectif.

Pour tracer une courbe, on fait varier t sur les intervalles séparés par les zéros du dénominateur. On préfère cette approche à un tracé direct d'une équation implicite lorsque la paramétrisation donne simplement les points et leur ordre de parcours.

Pour vérifier l'équation cartésienne d'une courbe, on remplace x et y par leurs expressions rationnelles, puis on simplifie. Pour le cercle conducteur, cette substitution donne exactement x² + y² = 1.

Pour étudier les asymptotes ou les points apparemment absents, on passe aux coordonnées projectives. Ce cadre est préférable au seul plan affine dès qu'un dénominateur s'annule ou qu'une limite du paramètre correspond à une direction à l'infini.

Courbe algébrique. Une courbe unicursale est algébrique, mais une équation polynomiale ne garantit pas une paramétrisation rationnelle. Une courbe de genre supérieur à zéro tranche le cas : elle est algébrique sans être unicursale.

Tracé eulérien d'un graphe. « D'un seul trait » signifie alors parcourir chaque arête une fois, selon une condition sur les sommets. Pour une courbe unicursale, le critère est l'existence d'une paramétrisation rationnelle ; ce n'est pas un problème de comptage d'arêtes.

Zéro réel du dénominateur. Si R(t) = 0, les coordonnées affines ne sont pas définies. Une branche peut sembler s'interrompre ou partir vers une asymptote. Il faut étudier les limites de part et d'autre, puis la représentation projective.

Valeur à l'infini du paramètre. Une paramétrisation par les seuls réels finis peut omettre un point. Sur le cercle unité, (−1, 0) correspond à t = ∞. Il faut compléter la droite des paramètres par son point à l'infini avant de conclure que le tracé est incomplet.

Paramétrisation non propre. Plusieurs valeurs de t peuvent décrire génériquement le même point. Le symptôme est une répétition systématique du parcours, et non quelques coïncidences en des points multiples. Il faut simplifier ou reparamétrer avant d'attribuer une valeur unique à chaque point courant.

Annulation simultanée. Si P, Q et R valent tous zéro pour le même paramètre, même les coordonnées projectives [P : Q : R] sont indéfinies. Il faut retirer un facteur commun lorsqu'il existe ou traiter cette valeur séparément.

La fiche courbe algébrique replace la paramétrisation rationnelle dans la famille plus large des courbes définies par une équation polynomiale.

L'article Tracer les courbes algébriques au XVIIIe siècle : le parallélogramme analytique de Newton et la méthode de Cramer éclaire les méthodes historiques de tracé des courbes algébriques.

L'article Au service des courbes ouvre sur d'autres outils employés pour étudier les courbes en géométrie algébrique.