GéométrieNotion · Glossaire
faisceau de coniques
Imaginez une famille de courbes obtenues à partir de deux coniques : leurs points communs restent fixes. Si C₁ et C₂ ont pour équations F(x, y) = 0 et G(x, y) = 0, avec F et G linéairement indépendants, le faisceau est donné par les combinaisons non nulles k·F(x, y) + (1 − k)·G(x, y) = 0, où k parcourt les réels.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la famille par une combinaison de deux équations.
- Calculer les points communs et un membre concret du faisceau.
- Distinguer la présentation affine des nuances projectives.
En clair
Imaginez deux courbes du second degré qui se croisent en deux points. Le faisceau rassemble les courbes obtenues en mélangeant leurs équations avec un même curseur numérique. Quand ce curseur change, la courbe change, mais les points où les deux courbes de départ se rencontrent restent fixes.
Dans l'exemple de deux cercles, chaque membre du faisceau passe donc par les mêmes points communs. Le faisceau ne décrit pas seulement une collection de dessins : il fournit une règle pour fabriquer toute une famille de coniques liées par ces points.
Définition
Dans le cadre affine usuel, soient F(x, y) et G(x, y) deux polynômes de degré exactement deux linéairement indépendants qui définissent deux coniques C₁ et C₂. Le faisceau engendré par ces coniques est la famille d’équations k·F(x, y) + (1 − k)·G(x, y) = 0, où k est un réel. Chaque valeur de k donne une combinaison de F et G et définit un membre affine de degré deux lorsque sa partie homogène quadratique est non nulle. Les cas dégénérés ou de degré affine inférieur sont précisés dans la section consacrée aux limites. Une conique non dégénérée correspond notamment à un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole ; le degré deux, à lui seul, ne suffit pas à garantir cette propriété.
Si un point P vérifie à la fois F(P) = 0 et G(P) = 0, alors il vérifie aussi k·F(P) + (1 − k)·G(P) = 0 pour toute valeur réelle de k. Les points communs aux deux coniques de départ appartiennent donc à tous les membres du faisceau, dans le plan réel comme dans le plan complexe.
La présentation avec k impose que les deux coefficients aient une somme égale à 1. En géométrie projective, on décrit plus largement le même faisceau par les combinaisons λF + μG associées aux couples (λ, μ) ≠ (0, 0), à un facteur scalaire non nul près ; cette écriture fait apparaître aussi d’éventuels membres dégénérés.
Un exemple, pas à pas
On considère les deux cercles C₁ et C₂ d'équations F(x, y) = x² + y² − 4x = 0 et G(x, y) = x² + y² − 4y = 0. Le point (0, 0) vérifie les deux équations. En soustrayant F = 0 et G = 0, on obtient 4(y − x) = 0, donc y = x. En reportant cette relation dans F = 0, on trouve 2x² − 4x = 0, d'où x = 0 ou x = 2. Les points communs sont donc (0, 0) et (2, 2).
Étape 1. Pour construire le faisceau, on remplace F et G dans k·F + (1 − k)·G = 0. Après regroupement, l'équation devient .
Étape 2. Avec k = 0, on retrouve G = 0, le cercle C₂. Avec k = 1, on retrouve F = 0, le cercle C₁. Ces deux valeurs servent de bornes naturelles pour lire la famille, sans limiter les autres valeurs réelles.
Étape 3. Avec k = 1/2, l'équation devient . En complétant les carrés, on obtient : ce membre est le cercle de centre (1, 1) et de rayon √2. Il passe bien par (0, 0) et (2, 2).
En pratique
Pour produire un membre du faisceau, choisissez une valeur réelle de k, remplacez-la dans k·F + (1 − k)·G = 0, puis réduisez l'équation. Les valeurs k = 0 et k = 1 redonnent les deux coniques de départ.
Pour vérifier qu'un point est commun à toute la famille, calculez séparément F et G en ce point. Si les deux résultats sont nuls, la combinaison obtenue est nulle quelle que soit la valeur de k.
Dans l'exemple, le cercle associé à k = 1/2 a pour centre (1, 1) et pour rayon √2. Cette lecture géométrique permet de reconnaître le membre obtenu après le calcul algébrique.
À ne pas confondre
Un faisceau de coniques et une conique quelconque. Un membre du faisceau n'est pas une conique choisie au hasard : son équation est une combinaison linéaire des deux équations génératrices. Il conserve notamment leurs points d'intersection communs.
Une interpolation de courbes et un déplacement de points. Le paramètre k modifie les coefficients de l'équation ; il ne déplace pas les points communs imposés par F = 0 et G = 0. Dans l'exemple, (0, 0) et (2, 2) restent donc sur chaque cercle construit.
Le paramètre affine et les coordonnées projectives. L'écriture k et 1 − k est une façon pratique de parcourir les combinaisons dont les coefficients somment à 1. L'écriture λF + μG, à un facteur près, est la formulation projective plus générale.
Limites et pièges
Les points communs peuvent ne pas être réels. Deux coniques peuvent ne se couper en aucun point du plan réel. La propriété du faisceau se formule alors naturellement dans le plan complexe, où les intersections peuvent être étudiées avec leurs multiplicités.
Un membre peut être dégénéré. Dans la description projective λF + μG, certains choix peuvent faire apparaître une paire de droites ou une droite double. Dans une carte affine, l'équation résultante peut perdre son terme de degré deux et sembler être de degré inférieur ; après homogénéisation, elle reste une courbe projective de degré deux et peut notamment contenir la droite à l'infini. Le mot « conique » ne désigne alors pas nécessairement une courbe ovale régulière. Dans le cadre affine usuel, une conique non dégénérée est une courbe plane dont l'homogénéisation en trois variables a une matrice symétrique de rang 3 ; cette condition exclut toute décomposition projective en deux droites, y compris des droites complexes conjuguées.
Les deux génératrices doivent être distinguées. Si F et G sont proportionnels, elles décrivent la même courbe et ne déterminent pas une famille riche de membres distincts. Le faisceau est alors à examiner séparément, car l'intersection ne fournit pas les deux points de base attendus dans le cas général.
La forme k·F + (1 − k)·G ne montre pas toute la droite projective des paramètres. Elle couvre les combinaisons dont la somme des coefficients vaut 1. Pour inclure le membre correspondant à une somme nulle, il faut revenir à l'écriture λF + μG.
Pour aller plus loin
Le langage projectif organise les membres d'un faisceau par un paramètre [λ : μ], où deux couples non nuls qui diffèrent par un même facteur représentent la même combinaison. Les points communs des deux coniques génératrices sont appelés points de base du faisceau. Cette perspective relie l'étude des coniques à celle des intersections, des transformations projectives et des familles d'équations homogènes.
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