birapport

Tracez quatre points A, B, C et D sur une droite, puis regardez-les depuis un point extérieur à cette droite. Choisissez une autre droite qui ne passe pas par ce point de vue et qui, dans le plan affine, n’est parallèle à aucune des quatre directions : celles-ci la rencontrent alors en quatre nouveaux points distincts. Sinon, une intersection peut se trouver à l’infini et doit être traitée dans le cadre projectif. Les distances ordinaires changent, mais une certaine combinaison de leurs rapports ne change pas : le birapport.

Ce nombre dépend de l’ordre A, B, C, D. Il décrit donc une relation projective entre les quatre points, plus stable que leurs longueurs ou leurs écarts apparents.

Pour quatre nombres réels ou complexes distincts, notés a, b, c et d et pris dans cet ordre, leur birapport est le nombre suivant :

Les dénominateurs doivent être non nuls dans cette écriture. Pour quatre points alignés A, B, C et D, on applique la formule à leurs abscisses dans un repère de la droite ; le résultat ne dépend pas du repère affine choisi. Si l’un des points est à l’infini, la définition s’obtient par passage à la limite. La valeur −1 caractérise une division harmonique. Dans une configuration non dégénérée, une projection centrale et, plus généralement, une homographie conservent le birapport. Les usages et les cas limites précisent ensuite les variantes sur les droites concourantes, le cercle et les coniques.

Sur une droite orientée, les points A, B, C et D ont pour abscisses respectives 0, 3, 1 et 2. Les quatre valeurs sont distinctes et leur ordre dans la formule est A, B, C, D.

1. Les différences associées à A valent 0 − 1 = −1 et 0 − 2 = −2.
2. Les différences associées à B valent 3 − 1 = 2 et 3 − 2 = 1.
3. Le premier quotient vaut (−1)/(−2) = 1/2.
4. Le second quotient vaut 2/1 = 2.
5. Le birapport est donc (1/2)/2 = 1/4.

Le résultat exact est 1/4, sans unité. Une projection centrale peut envoyer les quatre points sur une autre droite : les abscisses changent, tandis que le birapport ordonné reste égal à 1/4. Le schéma illustre la correspondance entre chaque point et son image par un même centre de projection ; il accompagne cette propriété sans constituer un second calcul.

En géométrie projective, le birapport sert à comparer quatre positions quand une projection a déformé les longueurs. Si les distances mesurées avant et après ne coïncident plus, on recalcule le birapport : son égalité signale la relation projective attendue.

Pour reconnaître une configuration harmonique, on ordonne les quatre points ou les quatre droites, puis on cherche la valeur −1. Dans un faisceau de quatre droites concourantes OA, OB, OC et OD, on peut les couper par une même sécante admissible ou employer le quotient (sin COA / sin COB) / (sin DOA / sin DOB), avec des angles orientés cohérents. Une simple comparaison de distances ne suffit pas, car elle dépend du repère et de la projection.

Sur un cercle, le quotient analogue formé avec les sinus des angles sous lesquels un cinquième point voit les quatre points donnés ne dépend pas de ce point de vue, par le théorème de l’angle inscrit. Le théorème de Chasles-Steiner prolonge cette propriété aux coniques. On préfère alors le birapport à une mesure de longueur lorsque la figure est observée depuis différents points ou transformée par une homographie.

Rapport de deux longueurs. Un rapport ordinaire compare deux grandeurs et reste stable sous un changement d’échelle. Le birapport combine quatre positions ordonnées et résiste à une projection centrale, même lorsque celle-ci ne conserve pas les longueurs.

L’ordre compte. Permuter A, B, C et D peut remplacer le birapport par une autre valeur. Le symptôme est un résultat différent obtenu avec les mêmes quatre points : il faut annoncer l’ordre et conserver la même convention de formule.

Points confondus. Si deux positions nécessaires à un dénominateur coïncident, la formule écrite avec quatre nombres contient une division par zéro. Il faut traiter séparément la configuration dégénérée, plutôt que lui attribuer une valeur ordinaire.

Point à l’infini. La formule affine n’accepte pas directement le symbole ∞ comme un nombre. Il faut passer à la limite dans le quotient ; supprimer arbitrairement les termes contenant l’infini donnerait un calcul sans justification.

Angles non orientés. Dans la formule pour quatre droites concourantes, changer isolément le sens d’un angle peut changer un signe. Il faut employer une orientation cohérente pour tous les angles, notamment pour reconnaître exactement le cas charnière −1.

géométrie projective — Situez le birapport dans la géométrie qui étudie les propriétés conservées par projection.

division harmonique — Approfondissez le cas remarquable où le birapport ordonné vaut −1.

Homographie — Voyez la famille de transformations projectives qui conserve le birapport.

Un invariant par projection centrale — Suivez le rôle du birapport dans une projection centrale.