faisceau harmonique

Imaginez quatre rayons partant d’un même point et coupant une droite située devant eux. Les quatre intersections apparaissent dans un certain ordre et portent une relation de proportion très particulière. Elle ne dépend pas du choix de la droite qui coupe les rayons, tant que cette droite ne passe pas par leur point commun.

Lorsque cette relation donne un birapport égal à −1, les quatre rayons forment un faisceau harmonique. On peut aussi remplacer les rayons par quatre droites parallèles, mais seulement si leurs quatre traces distinctes sur une sécante admissible ont elles aussi un birapport égal à −1. La figure paraît donc élémentaire, mais sa propriété reste inchangée quand on la regarde par une transformation projective.

Un faisceau harmonique est formé de quatre droites coplanaires liées par une relation projective. Dans le cas concourant, les quatre droites passent par un même point O. Une droite sécante qui ne passe pas par O les rencontre en quatre points A, B, C et D. Le faisceau est harmonique lorsque ces points forment une division harmonique, c’est-à-dire lorsque leur birapport vaut −1.

Si l’on choisit une coordonnée t sur la sécante, le birapport des quatre points, dans l’ordre A, B, C, D, s’écrit $(A,B;C,D)=\frac{(t_C-t_A)(t_D-t_B)}{(t_C-t_B)(t_D-t_A)}(A,B;C,D)=\backslash frac\{(t\_C-t\_A)(t\_D-t\_B)\}\{(t\_C-t\_B)(t\_D-t\_A)\}$. Les lettres t_A, t_B, t_C et t_D désignent les coordonnées des points. La valeur −1 ne change pas si l’on remplace la sécante par une autre sécante admissible.

Une variante affine peut être constituée de quatre droites coplanaires et mutuellement parallèles. Elles ne déterminent une division harmonique que si leurs quatre traces, sur une sécante admissible rencontrant les quatre droites en quatre points distincts, ont le birapport −1 ; cette valeur est alors la même sur toute autre sécante admissible. En géométrie projective, cette formulation rejoint le cas concourant en considérant la direction commune comme un point à l’infini. La propriété fournit un invariant utile pour l’étude des polaires et des involutions, mais elle dépend de l’ordre choisi pour nommer les quatre points.

Prenons quatre droites issues du point O et une sécante verticale qui ne passe pas par O. Sur cette sécante, une coordonnée orientée t repère les intersections. On nomme A, B, C et D les traces des quatre droites, dans l’ordre utilisé pour le calcul.

Données : t_A = −2 ; t_B = 2 ; t_C = −1 ; t_D = −4. Le point de concours est O = (0, 0), et la sécante est la droite d’équation x = 4. La figure associée représente les quatre droites et leurs traces.

1. La première différence vaut t_C − t_A = −1 − (−2) = 1.
2. La deuxième différence vaut t_D − t_B = −4 − 2 = −6.
3. Au dénominateur, t_C − t_B = −1 − 2 = −3 et t_D − t_A = −4 − (−2) = −2.
4. Le birapport vaut $(A,B;C,D)=\frac{1\times (-6)}{(-3)\times (-2)}=-1(A,B;C,D)=\backslash frac\{1\backslash times(-6)\}\{(-3)\backslash times(-2)\}=-1$.

Le résultat est exactement −1 : les quatre droites forment donc un faisceau harmonique pour cet ordre A, B, C, D. Le contrôle refaisable consiste à remplacer chaque différence par sa valeur ; le numérateur vaut −6 et le dénominateur vaut 6, d’où le quotient −1.

Pour vérifier une configuration dessinée, on repère d’abord le point commun des quatre droites, puis on choisit une sécante qui ne passe pas par ce point. On ordonne les quatre traces et on calcule leur birapport. Si le résultat est −1, l’ordre retenu décrit une division harmonique.

Une construction à quatre droites parallèles se contrôle de la même manière sur une sécante. Si l’objectif est seulement de comparer des longueurs dans une figure affine, une proportion ordinaire est une alternative plus directe ; le faisceau harmonique devient pertinent lorsque l’invariance projective, une polaire ou une involution intervient.

Faisceau harmonique et division harmonique. Le premier est une configuration de quatre droites ; la seconde est une configuration de quatre points sur une droite. Une sécante tranche les droites en quatre points : le calcul du birapport égal à −1 est le critère qui relie les deux notions.

Faisceau harmonique et quatre droites quelconques. Quatre droites coplanaires ne suffisent pas. Dans le cas concourant, elles doivent passer par le même point et leurs traces sur une sécante doivent avoir le birapport −1. Quatre droites passant par O mais donnant, par exemple, un birapport différent de −1 ne forment pas un faisceau harmonique.

Birapport et distance entre deux points. Une distance isolée ne caractérise pas la division harmonique. Le critère porte sur les quatre points et sur leur ordre ; dans l’exemple, les quatre coordonnées −2, 2, −1 et −4 sont nécessaires au quotient final.

La sécante passe par le point de concours. Elle rencontre alors les quatre droites en O, ou ne fournit pas quatre traces distinctes. Le birapport des quatre points n’est donc pas défini dans la configuration attendue ; il faut choisir une autre sécante.

Deux droites coïncident ou deux traces se confondent. Le quotient du birapport comporte alors une différence nulle et la division harmonique ordinaire n’est plus une quadruplet de points distincts. Il faut écarter cette configuration dégénérée ou traiter séparément son éventuel prolongement projectif.

L’ordre des quatre points est modifié. Le birapport dépend de l’ordre des lettres, même si certaines permutations donnent encore des valeurs liées. Il faut conserver le même ordre pour comparer deux calculs et ne pas conclure à tort à une valeur −1 après un simple réétiquetage.

Le cas parallèle est lu dans le plan affine. Quatre parallèles n’ont pas de point de concours fini. Leur traitement comme faisceau harmonique utilise la direction commune, interprétée comme un point à l’infini ; si l’on reste dans le seul cadre affine, il faut expliciter cette convention projective avant le calcul.

La fiche division harmonique détaille la relation entre quatre points et la valeur −1 du birapport. Elle permet de reprendre le critère utilisé par la sécante.

La fiche birapport approfondit la formule, son ordre de lecture et son invariance projective. Elle fournit le cadre de calcul général.

La fiche involution montre le prolongement conceptuel annoncé par la source, lorsque des couples de points sont échangés par une transformation projective.

L’article Un outil géométrique d'une incomparable efficacité offre un développement éditorial sur les outils géométriques associés à la division harmonique.