polaire d'un point

Imaginez un cercle et un point M placé à l'extérieur. Depuis M, deux tangentes touchent le cercle en deux points. La droite qui joint ces points de contact est la polaire de M. Elle associe donc un point à une droite, sans dépendre du choix d'une seule tangente.

La même idée subsiste pour une conique et même pour un couple de droites. La division harmonique fournit alors la règle de construction : plusieurs droites passant par M produisent plusieurs points conjugués, mais tous ces points s'alignent sur une unique droite.

La polaire associe à un point M une droite relativement à une conique donnée. Dans le cas d'un couple de droites (D) et (D'), on choisit une droite passant par M ; elle rencontre (D) en P et (D') en Q. Le point M' est défini comme le conjugué harmonique de M par rapport à P et Q, c'est-à-dire par le birapport $(P,Q;M,M^{\mathrm{\prime }})=-1(P,Q;M,M\text{'})=-1$. Lorsque la sécante varie, les points M' obtenus appartiennent tous à la polaire de M.

Si (D) et (D') sont parallèles, leur polaire est parallèle à ces deux droites. Si elles se coupent en I, la polaire passe par I et les quatre droites (IM), (D), (Δ) et (D') forment un faisceau harmonique. La sécante employée pour construire M' doit toutefois rencontrer les deux droites en deux points distincts : dans le cas sécant, la droite (IM) ne convient pas à cette construction ponctuelle.

Pour un cercle, la polaire est encore une droite. Quand M est extérieur, les deux tangentes issues de M touchent le cercle en T₊ et T₋, et la polaire est la droite (T₊T₋). Pour un cercle de centre O et de rayon R, avec M distinct de O, elle est perpendiculaire à (OM) et coupe (OM) en un point H vérifiant $OH\cdot OM=R^{2}OH\backslash cdot\; OM=R^2$. Cette définition se prolonge aux coniques, dont le cercle et le couple de droites sont des cas particuliers.

Considérons le cercle de centre O, de rayon R = 3, et un point extérieur M tel que OM = 6. Les tangentes issues de M touchent le cercle en T₊ et T₋. On cherche la droite qui joint ces deux points de contact, c'est-à-dire la polaire de M.

1. Notons H l'intersection de la polaire avec (OM). La relation $OH\cdot OM=R^{2}OH\backslash cdot\; OM=R^2$ donne $OH=\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}OH=\backslash frac\{3^2\}\{6\}=\backslash frac32$.

2. Traçons par H la perpendiculaire à (OM). Elle coupe le cercle en T₊ et T₋ ; cette corde est la polaire. La figure reprend exactement cette construction.

3. Dans le repère où O = (0, 0) et M = (6, 0), la polaire a pour équation x = 3/2. Ses intersections avec le cercle x² + y² = 9 sont $T_{\pm }=(\frac{3}{2},\pm \frac{3\sqrt{3}}{2})T\_\{\backslash pm\}=\backslash left(\backslash frac32,\backslash pm\backslash frac\{3\backslash sqrt3\}\{2\}\backslash right)$.

4. Pour contrôler le résultat, calculons OT₊² = 9/4 + 27/4 = 9 : T₊ est bien sur le cercle. De plus, les vecteurs OT₊ et MT₊ ont un produit scalaire égal à (3/2)(−9/2) + (3√3/2)² = 0 ; la droite MT₊ est donc tangente. Le même contrôle vaut pour T₋.

Avec un cercle et un point extérieur, on trace les deux tangentes issues du point, puis on joint leurs points de contact. Cette construction géométrique est préférable lorsque les tangentes sont déjà accessibles dans la représentation.

Lorsque le centre, le rayon et la position de M sont connus, la relation OH · OM = R² localise directement la polaire. Cette voie analytique évite de construire séparément les deux tangentes et reste utilisable quand M est intérieur au cercle.

Pour un couple de droites, on choisit plusieurs sécantes passant par M et l'on construit sur chacune le conjugué harmonique de M. Deux points M' distincts suffisent ensuite à tracer la polaire ; une troisième construction fournit un contrôle d'alignement.

La polaire n'est pas l'une des tangentes issues de M. Pour un point extérieur à un cercle, les tangentes passent par M, tandis que la polaire joint leurs deux points de contact et ne passe généralement pas par M.

Elle ne désigne pas non plus des coordonnées polaires. Ces coordonnées repèrent un point par une distance et un angle ; la polaire étudiée ici est une droite associée à un point relativement à une conique.

Enfin, une polaire n'est pas un axe radical. L'axe radical compare les puissances d'un même point par rapport à deux cercles, alors que la polaire dépend d'un point fixé et d'une seule conique.

Si M est sur le cercle, les deux points de contact se confondent avec M : la polaire devient la tangente au cercle en M. Il ne faut donc pas chercher une corde reliant deux points distincts.

Si M est intérieur au cercle, aucune tangente réelle ne part de M. La polaire existe néanmoins par la définition harmonique ou par la relation OH · OM = R² ; la construction par deux points de tangence extérieurs est alors impossible.

Si M coïncide avec le centre O, la relation OH · OM = R² n'a aucune solution finie. Dans le plan projectif, la polaire du centre est la droite à l'infini ; dans une figure euclidienne, aucune droite finie ne doit être tracée.

Pour deux droites sécantes en I, choisir la sécante (IM) donne P = Q = I : le quadruplet harmonique dégénère et M' n'est pas défini par ce choix. Il faut prendre une autre droite passant par M, rencontrant (D) et (D') en deux points distincts.

La division harmonique précise le birapport égal à −1 qui définit chaque point M' de la construction.

Le faisceau harmonique décrit la configuration des quatre droites obtenue lorsque les deux droites de départ se coupent.

La notion de conique donne le cadre général dans lequel le cercle et le couple de droites apparaissent comme des cas particuliers.